Encontre as coordenadas do vetor (4,6,7) de R^3 em relação as seguintes bases:
(i) Base Canônica: alpha=e1, e2, e3;
(ii) beta=(1,1,2),(2,1,2),(2,1,1)

Passo 1

O enunciado pede para achar as coordenadas do vetor (4,6,7)inR^3 em duas bases:
(i) na base canônica alpha=e1,e2,e3;
(ii) na base beta=(1,1,2),(2,1,2),(2,1,1).
O conteúdo é representação de vetores em diferentes bases e envolve resolver uma combinação linear (no caso da base beta).

Passo 2

Para a base canônica alpha=e1,e2,e3 as coordenadas de um vetor são simplesmente seus componentes. Logo,
(4,6,7)alpha = (4,6,7)

Passo 3

Na base beta escrevemos
(4,6,7) = a,(1,1,2) + b,(2,1,2) + c,(2,1,1)
Isso gera o sistema
a + 2b + 2c = 4, a + b + c = 6, 2a + 2b + c = 7

Passo 4

Resolvendo por eliminação:
  • Subtraindo a segunda equação da primeira:
(a+2b+2c) - (a+b+c) = 4 - 6 ;Longrightarrow; b + c = -2
  • Subtraindo 2 vezes a segunda da terceira:
(2a+2b+c) - 2(a+b+c) = 7 - 12 ;Longrightarrow; -c = -5 ;Longrightarrow; c = 5
  • Então b = -2 - c = -2 - 5 = -7.
  • Finalmente, a + b + c = 6
a = 6 - b - c = 6 - (-7) - 5 = 8

Resposta

(i) (4,6,7)alpha = (4,6,7).
(ii) (4,6,7)beta = (8,-7,5).

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