Considere a transformação linear T: R^2 longrightarrow R^3, com, definida por T(x, y)=(2 x 3 y, x-y). Determine a matriz [T]beta^alpha quando
(a) alpha=(1,0),(0,1) e beta=(1,2,0),(1,1,0),(1,-1,1);

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear Tcolon R^2toR^3 definida por
T(x,y) = (2x,,3y,,x-y),
e pede a matriz de T relativa à base de domínio alpha = (1,0),(0,1) e à base de imagem beta = (1,2,0),(1,1,0),(1,-1,1). Para isso, vamos usar que a coluna j de [T]beta^alpha é o vetor de coordenadas de Tl(ejr) em beta.

Passo 2

Calcular as imagens dos vetores da base alpha. Como alpha é a base padrão,
e1 = (1,0), e2=(0,1)
Logo,
T(e1) = T(1,0) = (2cdot1,,3cdot0,,1-0) = (2,0,1),
T(e2) = T(0,1) = (2cdot0,,3cdot1,,0-1) = (0,3,-1)

Passo 3

Expressar
Isso equivale ao sistema
Da última equação vem , . Portanto, as coordenadas de em são

Passo 4

Expressar
isto é,
Da última equação , . Assim,

Passo 5

Montar a matriz [T]beta^alpha. As colunas são [T(e1)]beta e [T(e2)]beta, respectivamente. Logo,
[T]beta^alpha = 0 & 1 1 & 0 1 & -1

Resposta

[T]beta^alpha = 0 & 1 1 & 0 1 & -1

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