Considere a transformação linear
\begin{aligned} T: \mathbb{R}^{2} & \rightarrow \mathbb{R}^{2} \\\ (x, y) & \mapsto(x-2 y,-2 x-2 y) \end{aligned}
a) Encontre os autovalores e autovetores de T.
b) Determine se T é diagonalizável e, se for, encontre uma base que diagonaliza T
c) Escreva a matriz de T na base que você encontrou no item b).

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
T(x,y) = (\,x-2y,\;-2x-2y\,)
no espaço \mathbb{R}^2 e pede:
a) autovalores e autovetores de T,
b) se T é diagonalizável e, em caso afirmativo, uma base que a diagonaliza,
c) a matriz de T nessa base.
Para isso, vamos escrever a matriz de T em relação à base canônica, calcular seu polinômio característico, achar as raízes (autovalores), resolver (A-\lambda I)v=0 para cada \lambda, e então montar a base de autovetores.

Passo 2

Escrevendo T na base canônica \{(1,0),(0,1)\}, a matriz é
A = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\\\ -2 & -2 \end{pmatrix},
pois T(1,0)=(1,-2) e T(0,1)=(-2,-2).

Passo 3

O polinômio característico é
\det(A - \lambda I) = \det\begin{pmatrix} 1-\lambda & -2 \\[6pt] -2 & -2-\lambda \end{pmatrix} = (1-\lambda)(-2-\lambda) - (-2)(-2) = \lambda^2 + \lambda - 6.]

Passo 4

Resolvendo \lambda^2 + \lambda - 6 = 0 pela fórmula de Bhaskara,
\lambda = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} = \frac{-1 \pm 5}{2},
logo os autovalores são
\lambda_1 = 2 e \lambda_2 = -3.

Passo 5

Para \lambda_1 = 2, resolvemos
(A - 2I)v = 0 \;\Longrightarrow\; \begin{pmatrix} -1 & -2 \\[3pt] -2 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix}.
A primeira equação dá -x -2y = 0, ou seja x = -2y. Um autovetor é
\,v_1 = (-2,1).
Para \lambda_2 = -3, temos
(A + 3I)v = 0 \;\Longrightarrow\; \begin{pmatrix} 4 & -2 \\[3pt] -2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix},
daí 4x -2y = 0 ou y=2x. Um autovetor é
\,v_2 = (1,2).]

Passo 6

Como há dois autovalores distintos em \mathbb{R}^2, os autovetores v_1 e v_2 são linearmente independentes e formam uma base que diagonaliza T:
\mathcal{B} = \{\,(-2,1),\;(1,2)\}.

Passo 7

Na base \mathcal{B}, a matriz de T é diagonal com as entradas sendo os autovalores, isto é,
[T]_{\mathcal{B}} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\[4pt] 0 & -3 \end{pmatrix}.]

Resposta

a) Os autovalores são \lambda_1 = 2 e \lambda_2 = -3. Autovetores correspondentes: para \lambda_1=2, v_1 = (-2,1); para \lambda_2=-3, v_2=(1,2).
b) T é diagonalizável. Uma base de autovetores é \{(-2,1),(1,2)\}.
c) Na base \{(-2,1),(1,2)\}, a matriz de T é
\begin{pmatrix} 2 & 0 \\[4pt] 0 & -3 \end{pmatrix}.]

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