a) Encontre os autovalores e autovetores de T.
b) Determine se T é diagonalizável e, se for, encontre uma base que diagonaliza T
c) Escreva a matriz de T na base que você encontrou no item b).
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear
T(x,y) = (\,x-2y,\;-2x-2y\,)
no espaço \mathbb{R}^2 e pede:
a) autovalores e autovetores de T,
b) se T é diagonalizável e, em caso afirmativo, uma base que a diagonaliza,
c) a matriz de T nessa base.
Para isso, vamos escrever a matriz de T em relação à base canônica, calcular seu polinômio característico, achar as raízes (autovalores), resolver (A-\lambda I)v=0 para cada \lambda, e então montar a base de autovetores.
Passo 2
Escrevendo T na base canônica \{(1,0),(0,1)\}, a matriz é
a) Os autovalores são \lambda_1 = 2 e \lambda_2 = -3. Autovetores correspondentes: para \lambda_1=2, v_1 = (-2,1); para \lambda_2=-3, v_2=(1,2).
b) T é diagonalizável. Uma base de autovetores é \{(-2,1),(1,2)\}.
c) Na base \{(-2,1),(1,2)\}, a matriz de T é