(1 pt) Considere \mathcal{B}=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\} em que \vec{v}_{1}=(1,2,-1), \vec{v}_{2}=(3,0,4) e \vec{v}_{3}=(0,-1,1).
(a) Mostre, por definição, que os vetores \vec{v}_{1}, \vec{v}_{2} e \vec{v}_{3} são linearmente independentes (LI).
(b) Mostre, por definição, que os vetores \vec{v}_{1}, \vec{v}_{2} e \vec{v}_{3} geram o \mathbb{R}^{3}.
(c) Justifique por que o conjunto \mathcal{B} forma uma base de \mathbb{R}^{3}.
Passo 1
O enunciado trata do conjunto \mathcal{B}=\{\vec v_1,\vec v_2,\vec v_3\} em \mathbb{R}^3, com \vec v_1=(1,2,-1), \vec v_2=(3,0,4) e \vec v_3=(0,-1,1).
O conteúdo é base de um espaço vetorial: precisamos mostrar (a) independência linear por definição, (b) geração de \mathbb{R}^3 por definição, e (c) então concluir que \mathcal{B} é base.
Passo 2
Para provar que \vec v_1,\vec v_2,\vec v_3\) são linearmente independentes, partimos da combinação
\[a_1\vec v_1 + a_2\vec v_2 + a_3\vec v_3 = \vec 0,
Da primeira equação vem a_1 = -3a_2\]. Substituindo na segunda obtemos
\[2(-3a_2)-a_3=0\implies a_3=-6a_2.\]
Na terceira:
\[-(-3a_2)+4a_2+(-6a_2)=0\implies 3a_2+4a_2-6a_2=0\implies a_2=0.\]
Logo \(a_2=0, e daí a_1=-3\cdot0=0 e a_3=-6\cdot0=0.
Como a única solução é trivial, os vetores são linearmente independentes.
Passo 3
Para mostrar que geram \mathbb{R}^3\), tomemos um vetor arbitrário \((x,y,z)\). Queremos achar \(b_1,b_2,b_3\) tais que
\[b_1\vec v_1+b_2\vec v_2+b_3\vec v_3=(x,y,z).
Da primeira equação b_1 = x-3b_2\]. Substituindo na segunda:
\[2(x-3b_2)-b_3=y\implies b_3=2x-6b_2-y.\]
Na terceira:
\[-(x-3b_2)+4b_2+(2x-6b_2-y)=z\implies x+b_2-y=z\implies b_2=z-x+y.\]
Então
\[b_2 = z - x + y,\quad b_1 = x-3(z-x+y)=4x-3y-3z,\quad b_3 = 2x-6(z-x+y)-y=8x-7y-6z.\]
Esses \(b_1,b_2,b_3 resolvem o sistema, mostrando que (x,y,z) é combinação linear, ou seja, \mathcal{B} gera \mathbb{R}^3.
Passo 4
Pelo item (a) temos independência linear e pelo item (b) geração de \mathbb{R}^3. Por definição de base, \mathcal{B} é uma base de \mathbb{R}^3.
Resposta
(a) Os vetores são LI, pois só a combinação trivial anula-os.
(b) Eles geram \mathbb{R}^3, pois para qualquer (x,y,z) encontramos escalares b_1,b_2,b_3.
(c) Como são LI e geram \mathbb{R}^3, \mathcal{B} é base de \mathbb{R}^3.