(1 pt) Considere \mathcal{B}=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\} em que \vec{v}_{1}=(1,2,-1), \vec{v}_{2}=(3,0,4) e \vec{v}_{3}=(0,-1,1).
(a) Mostre, por definição, que os vetores \vec{v}_{1}, \vec{v}_{2} e \vec{v}_{3} são linearmente independentes (LI).
(b) Mostre, por definição, que os vetores \vec{v}_{1}, \vec{v}_{2} e \vec{v}_{3} geram o \mathbb{R}^{3}.
(c) Justifique por que o conjunto \mathcal{B} forma uma base de \mathbb{R}^{3}.

Passo 1

O enunciado trata do conjunto \mathcal{B}=\{\vec v_1,\vec v_2,\vec v_3\} em \mathbb{R}^3, com
\vec v_1=(1,2,-1), \vec v_2=(3,0,4) e \vec v_3=(0,-1,1).
O conteúdo é base de um espaço vetorial: precisamos mostrar (a) independência linear por definição, (b) geração de \mathbb{R}^3 por definição, e (c) então concluir que \mathcal{B} é base.

Passo 2

Para provar que \vec v_1,\vec v_2,\vec v_3\) são linearmente independentes, partimos da combinação \[a_1\vec v_1 + a_2\vec v_2 + a_3\vec v_3 = \vec 0,
que dá o sistema
\begin{cases} a_1 + 3a_2 + 0\,a_3 = 0,\\\\ 2a_1 + 0\,a_2 - a_3 = 0,\\\\ -\,a_1 +4a_2 + a_3 = 0. \end{cases}
Da primeira equação vem a_1 = -3a_2\]. Substituindo na segunda obtemos \[2(-3a_2)-a_3=0\implies a_3=-6a_2.\] Na terceira: \[-(-3a_2)+4a_2+(-6a_2)=0\implies 3a_2+4a_2-6a_2=0\implies a_2=0.\] Logo \(a_2=0, e daí a_1=-3\cdot0=0 e a_3=-6\cdot0=0.
Como a única solução é trivial, os vetores são linearmente independentes.

Passo 3

Para mostrar que geram \mathbb{R}^3\), tomemos um vetor arbitrário \((x,y,z)\). Queremos achar \(b_1,b_2,b_3\) tais que \[b_1\vec v_1+b_2\vec v_2+b_3\vec v_3=(x,y,z).
Isto gera o sistema
\begin{cases} b_1+3b_2 = x,\\\\ 2b_1 - b_3 = y,\\\\ -\,b_1+4b_2 + b_3 = z. \end{cases}
Da primeira equação b_1 = x-3b_2\]. Substituindo na segunda: \[2(x-3b_2)-b_3=y\implies b_3=2x-6b_2-y.\] Na terceira: \[-(x-3b_2)+4b_2+(2x-6b_2-y)=z\implies x+b_2-y=z\implies b_2=z-x+y.\] Então \[b_2 = z - x + y,\quad b_1 = x-3(z-x+y)=4x-3y-3z,\quad b_3 = 2x-6(z-x+y)-y=8x-7y-6z.\] Esses \(b_1,b_2,b_3 resolvem o sistema, mostrando que (x,y,z) é combinação linear, ou seja, \mathcal{B} gera \mathbb{R}^3.

Passo 4

Pelo item (a) temos independência linear e pelo item (b) geração de \mathbb{R}^3. Por definição de base, \mathcal{B} é uma base de \mathbb{R}^3.

Resposta

(a) Os vetores são LI, pois só a combinação trivial anula-os.
(b) Eles geram \mathbb{R}^3, pois para qualquer (x,y,z) encontramos escalares b_1,b_2,b_3.
(c) Como são LI e geram \mathbb{R}^3, \mathcal{B} é base de \mathbb{R}^3.

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