(
) Considere o subespaço vetorial
de
dado por
Determine:
(a) dois vetores LI em
;
(b) um conjunto de vetores que geram
;
(c) uma base e a dimensão de
, justificando detalhadamente.
(a) dois vetores LI em
(b) um conjunto de vetores que geram
(c) uma base e a dimensão de
Passo 1
O enunciado define o subespaço
e pede:
(a) dois vetores linearmente independentes em ;
(b) um conjunto de vetores que gere ;
(c) uma base de e a sua dimensão.
Para resolver, vamos interpretar como a imagem de uma aplicação linear
e usar dois passos principais: obter vetores geradores (imagens dos vetores canônicos) e depois extrair deles um subconjunto independente e minimal.
(a) dois vetores linearmente independentes em
(b) um conjunto de vetores que gere
(c) uma base de
Para resolver, vamos interpretar
Passo 2
Tomemos como candidatos a geradores as imagens dos vetores canônicos de
:
Logo,
Destes, já podemos escolher dois que parecem independentes, por exemplo
pois não existe
não nulos tais que
.
Passo 3
Para verificar dependências, escrevemos a combinação linear
e obtemos o sistema em
. Mais diretamente, observa-se que
Portanto
e
estão em
, o que mostra que
tem posto
e
.
Passo 4
Como
são independentes e geram
, elas geram todo
. Assim
é uma base de
e
.
Resposta
(a) Dois vetores LI em
são
(b) Um conjunto que gera
é
(c) Uma base de
é
e
.