( \mathbf{1} \mathbf{~ p t} ) Considere o subespaço vetorial W de \mathbb{R}^{3} dado por
W=\{(x+3 y+2 z, x+2 y+3 t, y+2 z-3 t) ; x, y, z, t \in \mathbb{R}\}
Determine:
(a) dois vetores LI em W;
(b) um conjunto de vetores que geram W;
(c) uma base e a dimensão de W, justificando detalhadamente.

Passo 1

O enunciado define o subespaço
W=\{(x+3y+2z,\;x+2y+3t,\;y+2z-3t)\;;\;x,y,z,t\in\mathbb{R}\}
e pede:
(a) dois vetores linearmente independentes em W;
(b) um conjunto de vetores que gere W;
(c) uma base de W e a sua dimensão.
Para resolver, vamos interpretar W como a imagem de uma aplicação linear \mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^3 e usar dois passos principais: obter vetores geradores (imagens dos vetores canônicos) e depois extrair deles um subconjunto independente e minimal.

Passo 2

Tomemos como candidatos a geradores as imagens dos vetores canônicos de \mathbb{R}^4:
\begin{aligned} v_1&=(1,0,0,0)\mapsto(1+3\cdot0+2\cdot0,\;1+2\cdot0+3\cdot0,\;0+2\cdot0-3\cdot0)=(1,1,0),\\\ v_2&=(0,1,0,0)\mapsto(0+3\cdot1+2\cdot0,\;0+2\cdot1+3\cdot0,\;1+2\cdot0-3\cdot0)=(3,2,1),\\\ v_3&=(0,0,1,0)\mapsto(0+3\cdot0+2\cdot1,\;0+2\cdot0+3\cdot0,\;0+2\cdot1-3\cdot0)=(2,0,2),\\\ v_4&=(0,0,0,1)\mapsto(0+3\cdot0+2\cdot0,\;0+2\cdot0+3\cdot1,\;0+2\cdot0-3\cdot1)=(0,3,-3). \end{aligned}
Logo,
W=\operatorname{span}\{\,v_1,v_2,v_3,v_4\}.
Destes, já podemos escolher dois que parecem independentes, por exemplo
v_1=(1,1,0),\quad v_2=(3,2,1),
pois não existe \alpha,\beta não nulos tais que \alpha v_1+\beta v_2=0.

Passo 3

Para verificar dependências, escrevemos a combinação linear
a\,v_1+b\,v_2+c\,v_3+d\,v_4=(0,0,0)
e obtemos o sistema em (a,b,c,d). Mais diretamente, observa-se que
v_3=(2,0,2)=-4\,(1,1,0)+2\,(3,2,1)=-4\,v_1+2\,v_2,
v_4=(0,3,-3)=9\,(1,1,0)-3\,(3,2,1)=9\,v_1-3\,v_2.
Portanto v_3 e v_4 estão em \operatorname{span}\{v_1,v_2\}, o que mostra que \{v_1,v_2,v_3,v_4\} tem posto 2 e \dim W=2.

Passo 4

Como \{v_1,v_2\} são independentes e geram v_3,v_4, elas geram todo W. Assim
\{v_1,v_2\}
é uma base de W e \dim W=2.

Resposta

(a) Dois vetores LI em W são
(1,1,0)\quad\text{e}\quad(3,2,1).
(b) Um conjunto que gera W é
\{(1,1,0),\,(3,2,1),\,(2,0,2),\,(0,3,-3)\}.
(c) Uma base de W é
\{(1,1,0),\,(3,2,1)\},
e \dim W=2.

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