Considere a transformação linear T: R^4 R^4, T(x, y, z, t)=(-x+2 y+3 z+4 t, y+5 z+6 t, z+7 t,-t).
Para cada autovalor, determine o auto-espaço a multiplicidade geométrica.

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
T:R^4toR^4, T(x,y,z,t)=(-x+2y+3z+4t,;y+5z+6t,;z+7t,;-t)
e pede, para cada autovalor, o autoespaço e a multiplicidade geométrica. O conteúdo é encontrar a matriz de T na base canônica, obter o polinômio característico, os autovalores com multiplicidade algébrica e depois resolver (A-lambda I)v=0 para cada lambda.

Passo 2

Imagem dos vetores da base canônica:
T(e1)=(-1,0,0,0), T(e2)=(2,1,0,0), T(e3)=(3,5,1,0), T(e4)=(4,6,7,-1)
Daí a matriz de T é
A = -1 & 2 & 3 & 4 0 & 1 & 5 & 6 0 & 0 & 1 & 7 0 & 0 & 0 & -1

Passo 3

Como A é triangular, seus autovalores são as entradas da diagonal:
lambda1=-1, lambda2=1, lambda3=1, lambda4=-1
Logo os autovalores distintos são -1 e 1, cada um com multiplicidade algébrica 2.

Passo 4

Para resolvemos
Da terceira linha vem . Substituindo na segunda e na primeira obtém-se , logo e , ficando livre.

Passo 5

Para resolvemos
Da terceira linha vem . Da segunda vem . Da primeira: .

Resposta

Para lambda=-1:
E-1=(x,0,0,0)mid xinR, mu<iplicidade >=ométrica 1 é
Para lambda=1:
E1=(x,x,0,0)mid xinR, mu<iplicidade >=ométrica 1 é

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