Considere a transformação linear T: R^4 R^4, T(x, y, z, t)=(-x+2 y+3 z+4 t, y+5 z+6 t, z+7 t,-t).
Determine o polinômio caracteristico, os autovalores e as multiplicidades algébricas para a matriz A.

Passo 1

O enunciado define a transformação linear TcolonR^4toR^4 por
T(x,y,z,t)=(-x+2y+3z+4t,;y+5z+6t,;z+7t,;-t)
e pede o polinômio característico de sua matriz na base canônica, bem como os autovalores e suas multiplicidades algébricas. Para isso, vamos escrever a matriz A de T no sistema de coordenadas padrão, observar que ela é triangular superior e usar a fórmula
p(lambda)=det(A-lambda I)

Passo 2

As colunas de A são as imagens dos vetores da base canônica (1,0,0,0), (0,1,0,0), (0,0,1,0), (0,0,0,1). Assim obtemos
A = -1 & 2 & 3 & 4 0 & 1 & 5 & 6 0 & 0 & 1 & 7 0 & 0 & 0 & -1 ,
que é triangular superior, com entradas da diagonal -1,1,1,-1.

Passo 3

Para o polinômio característico calculamos
p(lambda)=det(A-lambda I) =det -1-lambda & 2 & 3 & 4 0 & 1-lambda & 5 & 6 0 & 0 & 1-lambda & 7 0 & 0 & 0 & -1-lambda
Como a matriz é triangular, o determinante é o produto dos elementos da diagonal:
p(lambda)=(-1-lambda),(1-lambda),(1-lambda),(-1-lambda) =(lambda+1)^2(lambda-1)^2

Passo 4

Os autovalores são as raízes de p(lambda)=0, ou seja
lambda=-1elambda=1
Como cada um aparece ao quadrado em p(lambda), a multiplicidade algébrica de
lambda=-1 é 2 e a de lambda=1 também é 2.

Resposta

Polinômio característico:
p(lambda)=(lambda+1)^2(lambda-1)^2
Autovalores e multiplicidades algébricas:
lambda=-1,;mu< alg 2; lambda=1,;mu< alg 2

Exercícios relacionados