Considere a transformação linear .
Esta transformação linear é bjijetora? Justifique.
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear
e pergunta se é bijetora. Como domínios e contradomínios têm mesma dimensão finita, basta verificar se é invertível, o que é equivalente a ou , onde é a matriz de na base canônica.
Passo 2
Vamos montar a matriz de na base canônica . As colunas de são :
Logo,
Passo 3
Note que A é triangular superior. O determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal principal. Assim,
det(A) = (-1)cdot 1 cdot 1 cdot (-1) = 1
Como det(A)neq0, a matriz A é invertível.
Passo 4
Por ser invertível, T tem núcleo trivial (ker(T)=0) e imagem de dimensão máxima, portanto é injetora e sobrejetora simultaneamente. Concluímos que T é bijetora.
Resposta
Sim, T é bijetora, pois a matriz associada tem det(A)=1neq0, logo é invertível.