Considere a transformação linear T: R^4 R^4, T(x, y, z, t)=(-x+2 y+3 z+4 t, y+5 z+6 t, z+7 t,-t).
Esta transformação linear é bjijetora? Justifique.

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
Tcolon R^4to R^4, T(x,y,z,t)=(-x+2y+3z+4t,;y+5z+6t,;z+7t,;-t)
e pergunta se T é bijetora. Como domínios e contradomínios têm mesma dimensão finita, basta verificar se T é invertível, o que é equivalente a ker(T)=0 ou det(A)neq0, onde A é a matriz de T na base canônica.

Passo 2

Vamos montar a matriz A de T na base canônica e1,e2,e3,e4. As colunas de A são T(e1),T(e2),T(e3),T(e4):
T(e1)=T(1,0,0,0)=(-1,0,0,0), T(e2)=(2,1,0,0), T(e3)=(3,5,1,0), T(e4)=(4,6,7,-1)
Logo,
A = -1 & 2 & 3 & 4 0 & 1 & 5 & 6 0 & 0 & 1 & 7 0 & 0 & 0 & -1

Passo 3

Note que A é triangular superior. O determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal principal. Assim,
det(A) = (-1)cdot 1 cdot 1 cdot (-1) = 1
Como det(A)neq0, a matriz A é invertível.

Passo 4

Por ser invertível, T tem núcleo trivial ( ker(T)=0) e imagem de dimensão máxima, portanto é injetora e sobrejetora simultaneamente. Concluímos que T é bijetora.

Resposta

Sim, T é bijetora, pois a matriz associada tem det(A)=1neq0, logo é invertível.

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