Q2: Considere a transformação linear T(x, y, z)= (-x+2 y-z,-x+3 y-2 z, x).
Calcule B, a matriz que representa a INVERSA de T.
A entrada b_{13} vale:
(A) -2
(B) -1
(C) 0
(D) 1
(E) 2
(F) 3
(G) 4
(H) 5
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear
T(x,y,z)=(-x+2y-z,\,-x+3y-2z,\,x)
e pede para calcular B, a matriz que representa a inversa de T. Em particular, deseja-se o valor da entrada b_{13} (primeira linha, terceira coluna) da matriz B.
Informações dadas:
A regra de T em coordenadas padrão é a expressão acima.
O objetivo final é obter b_{13}, que é um número entre as alternativas (A)–(H).
Passo 2
Primeiro vamos montar a matriz A que representa T na base canônica. Para isso, calculamos T aplicado aos vetores canônicos (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1). Esses resultados formarão, respectivamente, as colunas de A.
Breve explicação conceitual útil: se B=A^{-1} então a coluna j de B é o vetor solução v da equação linear
A v = e_j,
onde e_j é o j-ésimo vetor da base canônica. Em particular, a terceira coluna de B é o vetor v tal que A v = e_3=(0,0,1). A entrada b_{13} é o primeiro componente desse vetor (primeira linha, terceira coluna).
Logo basta resolver o sistema A(a,b,c)^\top = e_3 e pegar o primeiro componente da solução.
Passo 4
Escrevendo o sistema A(a,b,c)^\top = (0,0,1)^\top\) em equações:
\[\begin{cases} - a + 2b - c = 0,\\[4pt] - a + 3b - 2c = 0,\\[4pt] a = 1. \end{cases}
A terceira equação veio da terceira linha de A\], que é \[1\cdot a + 0\cdot b + 0\cdot c = 1, então \,a=1.
Da primeira equação obtemos c = 2b - 1\]. Substituindo na segunda:
\[3b - 2(2b-1)=1 \quad\Rightarrow\quad 3b -4b +2 =1 \quad\Rightarrow\quad -b = -1 \quad\Rightarrow\quad b=1.\]
Então \(c = 2\cdot 1 -1 = 1.
Portanto a solução é
v=(a,b,c)^\top = (1,1,1)^\top,
que é a terceira coluna de B=A^{-1}.]
Passo 5
Assim a terceira coluna de B é (1,1,1)^\top. A entrada b_{13} é o primeiro componente dessa coluna, ou seja b_{13}=1. Entre as alternativas dadas, isso corresponde a (D).