Q1: Sejam \beta=\left\{\vec{b}_{1}, \vec{b}_{2}\right\} uma base de \mathbb{R}^{2}, \vec{u}=(-1,3) e \vec{v}=(1,-1). Se as coordenadas na base \beta destes vetores são [\vec{u}]_{\beta}=(-1,2) e [\vec{v}]_{\beta}=(3,-4), então \vec{b}_{2} é:
(A) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 0\end{array}\right]
(B) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 1\end{array}\right]
(C) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 2\end{array}\right]
(D) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 3\end{array}\right]
(E) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 4\end{array}\right]
(F) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 5\end{array}\right]
(G) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 6\end{array}\right]
(H) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 7\end{array}\right]
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
Foi dada a base \beta=\{\vec{b}_{1},\vec{b}_{2}\} de \mathbb{R}^{2}.
Os vetores em coordenadas canônicas (padrão) são \vec{u}=(-1,3) e \vec{v}=(1,-1).
As coordenadas desses vetores na base \beta são [\vec{u}]_{\beta}=(-1,2) e [\vec{v}]_{\beta}=(3,-4).
O que o enunciado pergunta: determinar \vec{b}_{2}. (As alternativas indicam que só importa a segunda componente de \vec{b}_{2}, mas podemos encontrar o vetor completo.)
Passo 2
Entendendo o que significa uma coordenada em uma base (aula rápida e intuitiva).
Se \beta=\{\vec{b}_{1},\vec{b}_{2}\} e as coordenadas de \vec{u} em \beta são [\vec{u}]_{\beta}=(-1,2), isso quer dizer que \vec{u} é combinação linear dos vetores da base com esses coeficientes:
Essas são equações vetoriais em \mathbb{R}^{2}. Aqui \vec{b}_{1} e \vec{b}_{2} são incógnitas (cada uma com duas componentes). A estratégia é usar as duas equações para eliminar \vec{b}_{1} e obter \vec{b}_{2}.
Passo 3
Escrever as equações vetoriais com os vetores conhecidos substituídos.