Q1: Sejam \beta=\left\{\vec{b}_{1}, \vec{b}_{2}\right\} uma base de \mathbb{R}^{2}, \vec{u}=(-1,3) e \vec{v}=(1,-1). Se as coordenadas na base \beta destes vetores são [\vec{u}]_{\beta}=(-1,2) e [\vec{v}]_{\beta}=(3,-4), então \vec{b}_{2} é:
(A) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 0\end{array}\right]
(B) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 1\end{array}\right]
(C) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 2\end{array}\right]
(D) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 3\end{array}\right]
(E) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 4\end{array}\right]
(F) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 5\end{array}\right]
(G) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 6\end{array}\right]
(H) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 7\end{array}\right]

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Foi dada a base \beta=\{\vec{b}_{1},\vec{b}_{2}\} de \mathbb{R}^{2}.
  • Os vetores em coordenadas canônicas (padrão) são \vec{u}=(-1,3) e \vec{v}=(1,-1).
  • As coordenadas desses vetores na base \beta são [\vec{u}]_{\beta}=(-1,2) e [\vec{v}]_{\beta}=(3,-4).
  • O que o enunciado pergunta: determinar \vec{b}_{2}. (As alternativas indicam que só importa a segunda componente de \vec{b}_{2}, mas podemos encontrar o vetor completo.)

Passo 2

Entendendo o que significa uma coordenada em uma base (aula rápida e intuitiva).
  • Se \beta=\{\vec{b}_{1},\vec{b}_{2}\} e as coordenadas de \vec{u} em \beta são [\vec{u}]_{\beta}=(-1,2), isso quer dizer que \vec{u} é combinação linear dos vetores da base com esses coeficientes:
\vec{u} = (-1)\vec{b}_{1} + 2\vec{b}_{2}.
  • De forma análoga, para \vec{v} temos
\vec{v} = 3\vec{b}_{1} + (-4)\vec{b}_{2} = 3\vec{b}_{1} - 4\vec{b}_{2}.
  • Essas são equações vetoriais em \mathbb{R}^{2}. Aqui \vec{b}_{1} e \vec{b}_{2} são incógnitas (cada uma com duas componentes). A estratégia é usar as duas equações para eliminar \vec{b}_{1} e obter \vec{b}_{2}.

Passo 3

Escrever as equações vetoriais com os vetores conhecidos substituídos.
  • Substituindo \vec{u}=(-1,3) na primeira equação:
(-1,3) = -\vec{b}_{1} + 2\vec{b}_{2}.
  • Substituindo \vec{v}=(1,-1) na segunda equação:
(1,-1) = 3\vec{b}_{1} - 4\vec{b}_{2}.

Passo 4

Eliminar \vec{b}_{1} para achar \vec{b}_{2}.
  • Da primeira equação isolamos \vec{b}_{1}:
-\vec{b}_{1} = (-1,3) - 2\vec{b}_{2}\quad\Rightarrow\quad \vec{b}_{1} = 2\vec{b}_{2} - (-1,3) = 2\vec{b}_{2} + (1,-3).
(ou, de maneira mais direta: \vec{b}_{1}=2\vec{b}_{2}-\vec{u}.)
  • Substituindo esse \vec{b}_{1} na segunda equação:
(1,-1) = 3\bigl(2\vec{b}_{2} + (1,-3)\bigr) - 4\vec{b}_{2}.
  • Desenvolvendo o lado direito:
(1,-1) = 6\vec{b}_{2} + 3(1,-3) - 4\vec{b}_{2} = 2\vec{b}_{2} + (3,-9).
  • Agora isolamos 2\vec{b}_{2}:
2\vec{b}_{2} = (1,-1) - (3,-9) = (1-3,\,-1-(-9)) = (-2,\,8).
  • Finalmente dividimos por 2 para obter \vec{b}_{2}:
\vec{b}_{2} = \frac{1}{2}(-2,8) = (-1,4).

Passo 5

Verificação rápida (importante para provas: sempre conferir).
  • Achar \vec{b}_{1} por consistência: usando \vec{b}_{1}=2\vec{b}_{2}-\vec{u}:
\vec{b}_{1} = 2(-1,4) - (-1,3) = (-2,8) - (-1,3) = (-2+1,\,8-3) = (-1,5).
  • Conferir a primeira igualdade: -\vec{b}_{1}+2\vec{b}_{2} = -(-1,5) + 2(-1,4) = (1,-5) + (-2,8) = (-1,3) = \vec{u}. OK.
  • Conferir a segunda: 3\vec{b}_{1}-4\vec{b}_{2} = 3(-1,5) -4(-1,4) = (-3,15) -(-4,16) = (-3+4,\,15-16) = (1,-1)=\vec{v}. OK.

Resposta

(E) \begin{pmatrix}-1\\\ 4\end{pmatrix}

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