(2,0 pontos) Os vetores
e
determinam um paralelogramo, calcule a altura do paralelogramo relativa a base definida pelo vetor
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados fornecidos.\n
- Pede-se a altura do paralelogramo relativa à base definida pelo vetor
.\n - Dados:
e .\n
Em outras palavras: existe um paralelogramo com lados dados pore ; a “base” escolhida é o lado com comprimento . Queremos a distância (altura) do lado oposto a essa base até a base, medida perpendicularmente.
Passo 2
Idéia geométrica e fórmula que vamos usar (explicação didática).\n
- A área do paralelogramo determinado por
e é dada por . Aqui é o produto vetorial (ou “cross product”) e indica o comprimento (norma) do vetor.\n - Geometricamente,
, onde é o ângulo entre e . A área do paralelogramo também é base vezes altura, isto é , onde é a altura relativa à base .\n - Igualando as duas expressões para a área obtemos a fórmula prática para a altura:\n
Esta fórmula faz sentido:
dá a área total, dividindo pelo comprimento da base
sobra a altura.
Passo 3
Como calcular o produto vetorial
.\n
- Para vetores em
, o produto vetorial tem coordenadas:
- Aplicando com
e : calculamos cada componente separadamente: - Primeira componente:
. - Segunda componente:
. - Terceira componente:
.
- Primeira componente:
- Logo
Passo 4
Calcular a norma de
(área do paralelogramo).\n
- A norma de um vetor
é .\n - Para
:
Passo 5
Calcular a norma de
(comprimento da base).\n
Passo 6
Usar a fórmula da altura e simplificar a expressão (sem repetir a resposta final simplificada).\n
- Pela fórmula do Passo 2: