(2,0 pontos) Os vetores \vec{u}=(2,1,2) e \vec{v}=(1,3,2) determinam um paralelogramo, calcule a altura do paralelogramo relativa a base definida pelo vetor \vec{u}

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados fornecidos.\n
  • Pede-se a altura do paralelogramo relativa à base definida pelo vetor \vec{u}.\n
  • Dados: \vec{u}=(2,1,2) e \vec{v}=(1,3,2).\n
    Em outras palavras: existe um paralelogramo com lados dados por \vec{u} e \vec{v}; a “base” escolhida é o lado com comprimento \|\vec{u}\|. Queremos a distância (altura) do lado oposto a essa base até a base, medida perpendicularmente.

Passo 2

Idéia geométrica e fórmula que vamos usar (explicação didática).\n
  • A área do paralelogramo determinado por \vec{u} e \vec{v} é dada por \|\vec{u}\times\vec{v}\|. Aqui \times é o produto vetorial (ou “cross product”) e \|\cdot\| indica o comprimento (norma) do vetor.\n
  • Geometricamente, \|\vec{u}\times\vec{v}\|=\|\vec{u}\|\;\|\vec{v}\|\sin\theta, onde \theta é o ângulo entre \vec{u} e \vec{v}. A área do paralelogramo também é base vezes altura, isto é \text{área}=\|\vec{u}\|\cdot há, onde h é a altura relativa à base \vec{u}.\n
  • Igualando as duas expressões para a área obtemos a fórmula prática para a altura:\n
h=\dfrac{\|\vec{u}\times\vec{v}\|}{\|\vec{u}\|}.
Esta fórmula faz sentido: \|\vec{u}\times\vec{v}\| dá a área total, dividindo pelo comprimento da base \|\vec{u}\| sobra a altura.

Passo 3

Como calcular o produto vetorial \vec{u}\times\vec{v}.\n
  • Para vetores em \mathbb{R}^3, o produto vetorial tem coordenadas:
\vec{u}\times\vec{v}=\big(u_2v_3-u_3v_2,\;u_3v_1-u_1v_3,\;u_1v_2-u_2v_1\big).
  • Aplicando com \vec{u}=(2,1,2) e \vec{v}=(1,3,2): calculamos cada componente separadamente:
    • Primeira componente: u_2v_3-u_3v_2 = 1\cdot2-2\cdot3 = 2-6 = -4.
    • Segunda componente: u_3v_1-u_1v_3 = 2\cdot1-2\cdot2 = 2-4 = -2.
    • Terceira componente: u_1v_2-u_2v_1 = 2\cdot3-1\cdot1 = 6-1 = 5.
  • Logo
\vec{u}\times\vec{v}=(-4,-2,5).

Passo 4

Calcular a norma de \vec{u}\times\vec{v} (área do paralelogramo).\n
  • A norma de um vetor (a,b,c) é \sqrt{a^2+b^2+c^2}.\n
  • Para \vec{u}\times\vec{v}=(-4,-2,5):
\|\vec{u}\times\vec{v}\|=\sqrt{(-4)^2+(-2)^2+5^2}=\sqrt{16+4+25}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}.

Passo 5

Calcular a norma de \vec{u} (comprimento da base).\n
  • \|\vec{u}\|=\sqrt{2^2+1^2+2^2}=\sqrt{4+1+4}=\sqrt{9}=3.

Passo 6

Usar a fórmula da altura e simplificar a expressão (sem repetir a resposta final simplificada).\n
  • Pela fórmula do Passo 2:
h=\dfrac{\|\vec{u}\times\vec{v}\|}{\|\vec{u}\|}=\dfrac{3\sqrt{5}}{3}.

Resposta

\sqrt{5}

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