(2,0 pontos) Dados os vetores \vec{u}=(1,2,3), \vec{v}=(3,2,1) e \vec{w}=(2,1,3), determine o volume do paralelepípedo determinado por esses vetores.
Passo 1
O enunciado dá os vetores \vec{u}=(1,2,3), \vec{v}=(3,2,1) e \vec{w}=(2,1,3) em \mathbb{R}^3 e pede: determinar o volume do paralelepípedo determinado por esses vetores.
Informações relevantes fornecidas:
As coordenadas de \vec{u} são (1,2,3).
As coordenadas de \vec{v} são (3,2,1).
As coordenadas de \vec{w} são (2,1,3).
O objetivo é um único número: o volume do paralelepípedo formado por esses três vetores.
Passo 2
Conceito importante que vamos usar (explicado de forma bem concreta): o volume do paralelepípedo determinado por três vetores \vec{u},\vec{v},\vec{w} em \mathbb{R}^3 é o valor absoluto do produto triple escalar. Em fórmula:
\vec{v}\times\vec{w} é o produto vetorial (cross product) entre \vec{v} e \vec{w}; ele produz um vetor perpendicular ao plano gerado por \vec{v} e \vec{w} e com magnitude igual à área do paralelogramo formado por \vec{v} e \vec{w}.
\vec{u}\cdot(\cdot) é o produto escalar (dot product) entre \vec{u} e esse vetor perpendicular; esse produto escalar dá a “altura” vezes a área da base, ou seja, o volume orientado.
O valor absoluto |\cdot| transforma o volume orientado (que pode ser negativo dependendo da ordem dos vetores) no volume geométrico positivo.
Uma forma prática e muito usada para calcular \vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}) é montar a matriz 3\times3 cujas linhas (ou colunas) são as coordenadas dos vetores e calcular o determinante dessa matriz. Escrevendo as coordenadas como linhas, temos:
Interpretando o resultado: \det(A) = -12 é o volume orientado (o sinal negativo só indica a ordem/orientação dos vetores). O volume geométrico é o valor absoluto desse número. Portanto:
Pronto — o volume é 12. Tá feito! Se ficar com dúvida em alguma conta pequena, releia os passos dos menores: é só multiplicar e subtrair, sem mistério.