(2,0 pontos) Dados os vetores \vec{u}=(1,2,3), \vec{v}=(3,2,1) e \vec{w}=(2,1,3), determine o volume do paralelepípedo determinado por esses vetores.

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec{u}=(1,2,3), \vec{v}=(3,2,1) e \vec{w}=(2,1,3) em \mathbb{R}^3 e pede: determinar o volume do paralelepípedo determinado por esses vetores.
Informações relevantes fornecidas:
  • As coordenadas de \vec{u} são (1,2,3).
  • As coordenadas de \vec{v} são (3,2,1).
  • As coordenadas de \vec{w} são (2,1,3).
  • O objetivo é um único número: o volume do paralelepípedo formado por esses três vetores.

Passo 2

Conceito importante que vamos usar (explicado de forma bem concreta): o volume do paralelepípedo determinado por três vetores \vec{u},\vec{v},\vec{w} em \mathbb{R}^3 é o valor absoluto do produto triple escalar. Em fórmula:
\text{Volume} = \left|\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})\right|.
O que isso significa, palavra por palavra:
  • \vec{v}\times\vec{w} é o produto vetorial (cross product) entre \vec{v} e \vec{w}; ele produz um vetor perpendicular ao plano gerado por \vec{v} e \vec{w} e com magnitude igual à área do paralelogramo formado por \vec{v} e \vec{w}.
  • \vec{u}\cdot(\cdot) é o produto escalar (dot product) entre \vec{u} e esse vetor perpendicular; esse produto escalar dá a “altura” vezes a área da base, ou seja, o volume orientado.
  • O valor absoluto |\cdot| transforma o volume orientado (que pode ser negativo dependendo da ordem dos vetores) no volume geométrico positivo.
Uma forma prática e muito usada para calcular \vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}) é montar a matriz 3\times3 cujas linhas (ou colunas) são as coordenadas dos vetores e calcular o determinante dessa matriz. Escrevendo as coordenadas como linhas, temos:
\det\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\[4pt] 3 & 2 & 1\\[4pt] 2 & 1 & 3 \end{pmatrix} = \vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}).
Esse determinante é o volume orientado; novamente, o volume do paralelepípedo é o valor absoluto deste determinante.]

Passo 3

Agora vamos calcular o determinante da matriz
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\[4pt] 3 & 2 & 1\\[4pt] 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}.
Vou usar a expansão pela primeira linha (que é fácil de seguir): para uma matriz
\begin{pmatrix} a & b & c\\[4pt] d & e & f\\[4pt] g & h & i \end{pmatrix}
temos
\det = a\,(e i - f h) - b\,(d i - f g) + c\,(d h - e g).
Aqui, identificando a=1, b=2, c=3, d=3, e=2, f=1, g=2, h=1, i=3.]

Passo 4

Calculemos cada menor e o determinante passo a passo, explicando as contas:
  • Primeiro menor: e i - f h = 2\cdot3 - 1\cdot1 = 6 - 1 = 5.
  • Segundo menor: d i - f g = 3\cdot3 - 1\cdot2 = 9 - 2 = 7.
  • Terceiro menor: d h - e g = 3\cdot1 - 2\cdot2 = 3 - 4 = -1.
Agora aplicando a fórmula da expansão pela primeira linha:
\det(A) = 1\cdot 5 - 2\cdot 7 + 3\cdot(-1).
Faça as contas devagar:
1\cdot 5 = 5,\qquad 2\cdot 7 = 14,\qquad 3\cdot(-1) = -3.
Então
\det(A) = 5 - 14 - 3 = 5 - 17 = -12.

Passo 5

Interpretando o resultado: \det(A) = -12 é o volume orientado (o sinal negativo só indica a ordem/orientação dos vetores). O volume geométrico é o valor absoluto desse número. Portanto:
\text{Volume} = \left|\det(A)\right| = \left|-12\right| = 12.
Pronto — o volume é 12. Tá feito! Se ficar com dúvida em alguma conta pequena, releia os passos dos menores: é só multiplicar e subtrair, sem mistério.

Resposta

12

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