Considere a transformação linear , onde .
Mostre que . Primeiro usando a definição de derivada. Depois usando a representação matricial.
Passo 1
O enunciado define o operador linear por
isto é, leva cada polinômio à sua derivada. Precisamos mostrar que
ou seja, a quarta derivada de qualquer polinômio de grau é o polinômio zero. Faremos isso de duas maneiras: primeiro usando diretamente a definição de derivada e depois usando a matriz de em uma base adequada.
Passo 2
Seja um polinômio genérico de grau ,
com . Então
Como , aplicar quatro vezes corresponde a tomar a quarta derivada de , que é o polinômio zero. Logo, para todo vale
Note que M é nilpotente de índice 4, pois cada multiplicação por M “desloca” os coeficientes uma posição acima da diagonal, e após quatro deslocamentos toda entrada sai da matriz. Formalmente, para k>=1, M^k tem entradas não nulas apenas na k-ésima superdiagonal, e em particular
M^4=04times4
Logo a representação matricial de D^4 é a matriz nula, o que equivale a D^4=0.