Considere a transformação linear D: P3(R) P3(R), onde D(p)=p^prime.
Mostre que D circ D circ D circ D=0. Primeiro usando a definição de derivada. Depois usando a representação matricial.

Passo 1

O enunciado define o operador linear D: P3(R)to P3(R) por
D(p)=p',
isto é, D leva cada polinômio à sua derivada. Precisamos mostrar que
Dcirc Dcirc Dcirc D=0,
ou seja, a quarta derivada de qualquer polinômio de grau <=3 é o polinômio zero. Faremos isso de duas maneiras: primeiro usando diretamente a definição de derivada e depois usando a matriz de D em uma base adequada.

Passo 2

Seja um polinômio genérico de grau <=3,
p(x)=a,x^3 + b,x^2 + c,x + d,
com a,b,c,dinR. Então
p'(x)=3a,x^2 + 2b,x + c,
p''(x)=6a,x + 2b,
p'''(x)=6a,
p''''(x)=0
Como D(p)=p', aplicar D quatro vezes corresponde a tomar a quarta derivada de p, que é o polinômio zero. Logo, para todo pin P3(R) vale
(Dcirc Dcirc Dcirc D)(p)=0,
isto é, D^4=0.

Passo 3

Escolhemos a base padrão
B=1,;x,;x^2,;x^3
de P3(R). Vamos achar a matriz de D nessa base.
  • D(1)=0 corresponde ao vetor coluna 0000.
  • D(x)=1 corresponde a 1000.
  • D(x^2)=2x corresponde a 0200.
  • D(x^3)=3x^2 corresponde a 0030.
Assim, a matriz de D em B é
M= 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 3 0 & 0 & 0 & 0
Note que M é nilpotente de índice 4, pois cada multiplicação por M “desloca” os coeficientes uma posição acima da diagonal, e após quatro deslocamentos toda entrada sai da matriz. Formalmente, para k>=1, M^k tem entradas não nulas apenas na k-ésima superdiagonal, e em particular
M^4=04times4
Logo a representação matricial de D^4 é a matriz nula, o que equivale a D^4=0.

Resposta

Dcirc Dcirc Dcirc D=0

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