Sejam
um espaço vetorial e
um operador linear tal que
(Operador auto-reflexivo). Mostre que 1 e -1 são os autovalores de T .
Passo 1
O enunciado diz que
é linear e satisfaz
Isto significa que
ou seja,
é uma involução. Queremos mostrar que, se
é autovalor de
, então necessariamente
.
Passo 2
Seja
um autovetor de
associado ao autovalor
. Por definição,
Aplicando
novamente em ambos os lados, obtemos
Mas como
, temos também
Logo
E como
, deduzimos
, ou seja,
Passo 3
Da equação
segue imediatamente que
Resposta
Os únicos autovalores possíveis de
são
e
.