Sejam V um espaço vetorial e T: V longrightarrow V um operador linear tal que T(T(v))=v, forall v in V (Operador auto-reflexivo). Mostre que 1 e -1 são os autovalores de T .

Passo 1

O enunciado diz que T:Vto V é linear e satisfaz
Tl(T(v)r)=v, forall vin V
Isto significa que
T^2 = Id,
ou seja, T é uma involução. Queremos mostrar que, se lambda é autovalor de T, então necessariamente lambdain1,-1.

Passo 2

Seja vneq0 um autovetor de T associado ao autovalor lambda. Por definição,
T(v)=lambda,v
Aplicando T novamente em ambos os lados, obtemos
T^2(v)=Tl(lambda,vr)=lambda,T(v)=lambdal(lambda,vr)=lambda^2,v
Mas como T^2=Id, temos também
T^2(v)=v
Logo
lambda^2,v = v Longrightarrow (lambda^2-1),v=0
E como vneq0, deduzimos lambda^2-1=0, ou seja,
lambda^2=1

Passo 3

Da equação lambda^2=1 segue imediatamente que
lambda=1oulambda=-1

Resposta

Os únicos autovalores possíveis de T são 1 e -1.

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