Seja um operador linear tal que ,
onde . é injetora? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado define linearmente pelas imagens dos polinômios da base canônica :
Para decidir se é injetora, basta verificar se , o que é equivalente a ver se as imagens dessas três funções são linearmente independentes ou, de modo equivalente, se a matriz de na base canônica é invertível.
Passo 2
Escrevendo cada em coordenadas na base :
Passo 3
A matriz de T na base 1,t,t^2 é
M = 1 & 0 & 1 1 & 1 & 1 0 & 1 & -1 ,
cuja colunas são precisamente as coordenadas de T(1), T(t) e T(t^2).