Seja T: P2(R) P2(R) um operador linear tal que (T(p0))(t)=1+t,(T(p1(t))(t)=t+t^2 e(T(p2))(t)= 1+t-t^2,
onde pi(t)=t^i, i=0,1,2.
T é injetora? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado define T: P2(R)to P2(R) linearmente pelas imagens dos polinômios da base canônica p0(t)=1,p1(t)=t,p2(t)=t^2:
T(1)=1+t, T(t)=t+t^2, T(t^2)=1+t-t^2
Para decidir se T é injetora, basta verificar se ker T=0, o que é equivalente a ver se as imagens dessas três funções são linearmente independentes ou, de modo equivalente, se a matriz de T na base canônica é invertível.

Passo 2

Escrevendo cada T(pi) em coordenadas na base 1,t,t^2:
T(1)=1+tlongrightarrow 110, T(t)=t+t^2longrightarrow 011, T(t^2)=1+t-t^2longrightarrow 11-1

Passo 3

A matriz de T na base 1,t,t^2 é
M = 1 & 0 & 1 1 & 1 & 1 0 & 1 & -1 ,
cuja colunas são precisamente as coordenadas de T(1), T(t) e T(t^2).

Passo 4

Calculamos o determinante de M:
det(M) =1cdotdet1&11&-1 -0cdotcdots +1cdotdet1&10&1 =1l(1cdot(-1)-1cdot1r)+1l(1cdot1-1cdot0r) =-2+1=-1neq0
Como det(M)neq0, a transformação é invertível e, em particular, injetora.

Resposta

Sim. T é injetora pois sua matriz na base 1,t,t^2 tem determinante não nulo.

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