Seja B=e1, e2, e3 uma base do espaço vetorial V. Se T, S: V V são operadores lineares em V tais que
T(e1)=2 e1-3 e2+e3, T(e2)=e1+e2, T(e3)=e2+e3 e
S(e1)=3 e1+2 e2, S(e2)=e1-e2-e3, S(e3)= e1+e2-2 e3.
Determinar as seguintes matrizes: [T]B,[S]B,[S circ T]B,
[S^2+I]B e [T^3-S^2]B.

Passo 1

O enunciado define uma base B=e1,e2,e3 de um espaço vetorial V e dois operadores lineares T,Scolon Vto V cujas imagens dos vetores da base estão dadas. Precisamos determinar as matrizes desses operadores na base B, bem como a matriz da composição Scirc T, da soma S^2+I e da diferença T^3-S^2. Para isso usaremos:
– A representação matricial de um operador linear na base canônica, onde a j-ésima coluna é o vetor de coordenadas de T(ej) em relação a B.
– Operações de soma, produto e potências de matrizes para obter as demais expressões.

Passo 2

Para montar [T]B, lemos as coordenadas de T(ej):
T(e1)=2e1-3e2+e3;Rightarrow;(2,-3,1)^T, T(e2)=e1+e2;Rightarrow;(1,1,0)^T, T(e3)=e2+e3;Rightarrow;(0,1,1)^T
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[T]B = 2 & 1 & 0 -3 & 1 & 1 1 & 0 & 1
De modo análogo, para [S]B usamos
S(e1)=3e1+2e2;Rightarrow;(3,2,0)^T, S(e2)=e1-e2-e3;Rightarrow;(1,-1,-1)^T, S(e3)=e1+e2-2e3;Rightarrow;(1,1,-2)^T
Assim
[S]B = 3 & 1 & 1 2 & -1 & 1 0 & -1 & -2

Passo 3

A matriz de Scirc T na base B é o produto
[Scirc T]B ;=; [S]B,[T]B
Fazendo a multiplicação, obtemos
[Scirc T]B = 4 & 4 & 2 8 & 1 & 0 1 & -1 & -3

Passo 4

Para [S^2+I]B primeiro calculamos
[S]B^2 = 11 & 1 & 2 4 & 2 & -1 -2 & 3 & 3
e somamos a identidade I3:
[S^2+I]B = 11+1 & 1 & 2 4 & 2+1 & -1 -2 & 3 & 3+1 = 12 & 1 & 2 4 & 3 & -1 -2 & 3 & 4

Passo 5

Para [T^3-S^2]B calculamos
[T]B^2 = 1 & 3 & 1 -8 & -2 & 2 3 & 1 & 1 , [T]B^3 =[T]B^2,[T]B = -6 & 4 & 4 -8 & -10 & 0 4 & 4 & 2 ,
e já tinhamos
[S]B^2 = 11 & 1 & 2 4 & 2 & -1 -2 & 3 & 3
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[T^3-S^2]B = -6-11 & 4-1 & 4-2 -8-4 & -10-2 & 0-(-1) 4-(-2) & 4-3 & 2-3 = -17 & 3 & 2 -12 & -12 & 1 6 & 1 & -1

Resposta

[T]B = 2 & 1 & 0 -3 & 1 & 1 1 & 0 & 1 , [S]B = 3 & 1 & 1 2 & -1 & 1 0 & -1 & -2 ,
[Scirc T]B = 4 & 4 & 2 8 & 1 & 0 1 & -1 & -3 , [S^2+I]B = 12 & 1 & 2 4 & 3 & -1 -2 & 3 & 4 ,
[T^3-S^2]B = -17 & 3 & 2 -12 & -12 & 1 6 & 1 & -1

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