Seja T: R^2 R^2 um operador linear cuja matriz na base B=(1,0),(1,4) é
[T]B=(ll1 & 1 5 & 1). Determinar a matriz de T em relação à base canônica de R^2.

Passo 1

O enunciado dá um operador linear T:R^2toR^2 cuja matriz na base B=b1,b2, com b1=(1,0) e b2=(1,4), é
[T]B = 1 & 1 [6pt] 5 & 1
Queremos encontrar a matriz de T na base canônica E=e1,e2, onde e1=(1,0) e e2=(0,1). Para isso vamos usar a mudança de base via a matriz cujas colunas são b1,b2.]

Passo 2

Formamos a matriz de passagem de B para a base canônica E:
P = l[b1;b2r] = 1 & 1 [3pt] 0 & 4
Sabemos que a matriz de T na base E é
[T]E ;=; P,[T]B,P^-1 ]

Passo 3

Calculamos P^-1. O determinante de P é det P = 1cdot4 - 1cdot0 = 4, logo
P^-1 = 144 & -1 [3pt] 0 & 1 = 1 & -tfrac14 [3pt] 0 & tfrac14 ]

Passo 4

Agora fazemos o produto
P,[T]B = 1 & 1 [3pt] 0 & 4 1 & 1 [3pt] 5 & 1 = 6 & 2 [3pt] 20 & 4,
e em seguida
[T]E = 6 & 2 [3pt] 20 & 4 1 & -tfrac14 [3pt] 0 & tfrac14 = 6 & -1 [3pt] 20 & -4 ]

Resposta

A matriz de T em relação à base canônica é
[T]E = 6 & -1 [3pt] 20 & -4 ]

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