Considere a transformação linear
dada por
.
Avalie as afirmações abaixo como V (verdadeiro) ou F (falso):
.
Avalie as afirmações abaixo como V (verdadeiro) ou F (falso):
Passo 1
O enunciado define a transformação linear
e pede para avaliar como verdadeiras (V) ou falsas (F) as afirmações:
-
. -
.
Para isso vamos (i) calculare (ii) verificar se é injetora (portanto inversível sobre sua imagem) e achar a pré-imagem de .
Passo 2
Calculando diretamente
Logo a primeira afirmação é verdadeira:
.
Passo 3
Para que
Verificamos se existem escalares
tais que
Isso gera o sistema
Da terceira equação vem e, então,
. Como só há a solução trivial, as colunas são linearmente independentes e
é injetora.
Sabendo disso,
está na imagem de
e tem pré-imagem única. Como já vimos que
, segue que
Portanto a segunda afirmação também é verdadeira.
Resposta
(V, V)