Considere a transformação linear T: R^2 R^3 dada por T(x, y)=(2 x-y, x+3 y,-x+y).
Avalie as afirmações abaixo como V (verdadeiro) ou F (falso):
T(1,0)=(2,1,-1) e^-1(2,1,-1)=(1,0).

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
Tcolon R^2 to R^3, T(x,y) = (2x - y,;x + 3y,;-x + y)
e pede para avaliar como verdadeiras (V) ou falsas (F) as afirmações:
  1. T(1,0) = (2,1,-1).
  2. T^-1(2,1,-1) = (1,0).
    Para isso vamos (i) calcular T(1,0) e (ii) verificar se T é injetora (portanto inversível sobre sua imagem) e achar a pré-imagem de (2,1,-1).

Passo 2

Calculando diretamente
T(1,0) = l(2cdot1 - 0,;1 + 3cdot0,;-1 + 0r) = (2,1,-1)
Logo a primeira afirmação é verdadeira: T(1,0)=(2,1,-1).

Passo 3

Para que
Verificamos se existem escalares tais que
Isso gera o sistema
Da terceira equação vem e, então, . Como só há a solução trivial, as colunas são linearmente independentes e é injetora.
Sabendo disso, está na imagem de e tem pré-imagem única. Como já vimos que , segue que
Portanto a segunda afirmação também é verdadeira.

Resposta

(V, V)

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