Considere a transformação linear dada por .
(b) Dê a dimensão da imagem de .
Passo 1
O enunciado pede a dimensão da imagem de , ou seja, o posto (rank) da transformação linear
Para resolver, vamos usar que a dimensão da imagem de é igual ao posto da matriz de na base canônica, ou seja, o número de colunas linearmente independentes.
Passo 2
Vamos escrever como matriz na base canônica de . Para isso observamos como age sobre os vetores canônicos:
Logo,
cujas colunas são os vetores de imagem dos vetores canônicos.]
Passo 3
Identificamos as colunas de A:
c1 = 210, c2 = 0-10, c3 = 00-1
O posto de A é o número máximo de colunas linearmente independentes entre c1,c2,c3.
Passo 4
Verificamos independência:
c3 é não nulo apenas na terceira componente, então não pode ser combinação linear de c1,c2.
c1 e c2 também são independentes, pois c1 tem primeira componente não nula e c2 não.
Assim, c1,c2,c3 é um conjunto de três vetores linearmente independentes em R^3.
Passo 5
Como há 3 colunas independentes, o posto de A é 3. Portanto a dimensão da imagem de T é 3, o que também mostra que T é sobrejetora.