Considere a transformação linear T: R^3 R^3 dada por T(x, y, z)=(2 x, x-y,-z).
(b) Dê a dimensão da imagem de T.

Passo 1

O enunciado pede a dimensão da imagem de T, ou seja, o posto (rank) da transformação linear
Tcolon R^3 to R^3, T(x,y,z) = (2x,;x - y,;-z)
Para resolver, vamos usar que a dimensão da imagem de T é igual ao posto da matriz de T na base canônica, ou seja, o número de colunas linearmente independentes.

Passo 2

Vamos escrever T como matriz A na base canônica de R^3. Para isso observamos como T age sobre os vetores canônicos:
T(1,0,0) = (2,1,0), T(0,1,0) = (0,-1,0), T(0,0,1) = (0,0,-1)
Logo,
A = 2 & 0 & 0 [6pt] 1 & -1 & 0 [6pt] 0 & 0 & -1 ,
cujas colunas são os vetores de imagem dos vetores canônicos.]

Passo 3

Identificamos as colunas de A:
c1 = 210, c2 = 0-10, c3 = 00-1
O posto de A é o número máximo de colunas linearmente independentes entre c1,c2,c3.

Passo 4

Verificamos independência:
  • c3 é não nulo apenas na terceira componente, então não pode ser combinação linear de c1,c2.
  • c1 e c2 também são independentes, pois c1 tem primeira componente não nula e c2 não.
    Assim, c1,c2,c3 é um conjunto de três vetores linearmente independentes em R^3.

Passo 5

Como há 3 colunas independentes, o posto de A é 3. Portanto a dimensão da imagem de T é 3, o que também mostra que T é sobrejetora.

Resposta

A dimensão da imagem de T é 3.

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