Se
é uma transformação linear e
é uma base de
, mostre que o conjunto
gera
.
Passo 1
O enunciado considera uma transformação linear
e uma base
de
.
Queremos mostrar que
gera
,
ou seja, todo vetor em pode ser escrito como combinação linear de
, e vice-versa.
Queremos mostrar que
ou seja, todo vetor em
Passo 2
Seja
. Por definição de imagem, existe algum
tal que
Como
é base de
, podemos escrever
com
(o corpo de escalares).
Passo 3
Usando a linearidade de
, temos
Logo
está no span de
. Portanto
Passo 4
Por outro lado, cada
obviamente pertence a
, pois é a imagem de
. Logo
Passo 5
Das duas inclusões obtemos
ou seja,
gera
.