Se T: V W é uma transformação linear e v1, v2, ldots, vn é uma base de V, mostre que o conjunto T(v1), T(v2), ldots, T(vn) gera Im(T).

Passo 1

O enunciado considera uma transformação linear
T:Vto W e uma base v1,v2,dots,vn de V.
Queremos mostrar que
T(v1),T(v2),dots,T(vn) gera Im(T),
ou seja, todo vetor em Im(T) pode ser escrito como combinação linear de T(v1),dots,T(vn), e vice-versa.

Passo 2

Seja win Im(T). Por definição de imagem, existe algum vin V tal que
T(v)=w
Como v1,dots,vn é base de V, podemos escrever
v = a1v1 + a2v2 + cdots + anvn,
com a1,a2,dots,aninK (o corpo de escalares).

Passo 3

Usando a linearidade de T, temos
w = T(v) = Tl(a1v1 + a2v2 + cdots + anvnr) = a1T(v1) + a2T(v2) + cdots + anT(vn)
Logo w está no span de T(v1),dots,T(vn). Portanto
Im(T)subseteq spanT(v1),dots,T(vn)

Passo 4

Por outro lado, cada T(vi) obviamente pertence a Im(T), pois é a imagem de vi. Logo
spanT(v1),dots,T(vn) subseteq Im(T)

Passo 5

Das duas inclusões obtemos
Im(T) = spanT(v1),dots,T(vn),
ou seja, T(v1),dots,T(vn) gera Im(T).

Resposta

T(v1),T(v2),dots,T(vn) gera Im(T).

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