Encontre a dimensão da imagem e do núcleo da transformação linear T: R^3 R^3 dada por T(x, y, z)=(x+y+z, x+y+z, x+y+z).

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
Tcolon R^3toR^3, T(x,y,z) = (x+y+z,;x+y+z,;x+y+z),
e pede as dimensões do núcleo e da imagem de T. O conteúdo é aplicação do conceito de núcleo (kernel), imagem (range) e o Teorema da Dimensão (rank–nullity).

Passo 2

Para achar a imagem, note que escrevemos
logo
Isso mostra
Portanto é uma reta em e

Passo 3

Para achar o núcleo, resolvemos
T(x,y,z)=0 ;Long<=ftrightarrow; (x+y+z,,x+y+z,,x+y+z)=(0,0,0) ;Long<=ftrightarrow; x+y+z=0
Logo
Ker(T) = (x,y,z)inR^3 mid x+y+z=0,
que é um plano em R^3. Por exemplo, vetores independentes são (1,-1,0) e (1,0,-1), mostrando que
diml(Ker(T)r) = 2

Passo 4

Como checagem, o Teorema da Dimensão garante
diml(Ker(T)r) + diml(Im(T)r) = 3,
e de fato 2+1=3, coerente com R^3.

Resposta

dim(Im(T))=1
dim(Ker(T))=2

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