Encontre a dimensão da imagem e do núcleo da transformação linear
dada
.
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear
e pede as dimensões do núcleo e da imagem de
. O conteúdo é aplicação do conceito de núcleo (kernel), imagem (range) e o Teorema da Dimensão (rank–nullity).
Passo 2
Para achar a imagem, note que escrevemos
logo
Isso mostra
Portanto
é uma reta em
e
Passo 3
Para achar o núcleo, resolvemos
Logo
que é um plano em
. Por exemplo, vetores independentes são
e
, mostrando que
Passo 4
Como checagem, o Teorema da Dimensão garante
e de fato
, coerente com
.