Dada a transformação linear T: R^2 R^2 definida por T(x, y)=(3 x-2 y, 4 x+y), encontre a transformação inversa T^-1, se existir.

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear
Tcolon R^2toR^2, T(x,y)=(3x-2y,;4x+y)
e pede a inversa T^-1, se existir.
Conteúdo: representar T por matriz A, verificar det(A)neq0 e usar a fórmula da inversa de uma matriz 2times2.

Passo 2

Escrevendo na forma matricial, temos
de modo que
Calculamos o determinante para ver se é invertível:
Como , existe e portanto .]

Passo 3

Para uma matriz genérica
M = a & b[4pt]c & d
a inversa é
M^-1 = 1ad - bcd & -b[4pt]-c & a
Aplicando isso a
A = 3 & -2[4pt]4 & 1,
obtemos
A^-1 = 111 1 & 2[4pt]-4 & 3 ]

Passo 4

Logo, para qualquer (u,v)inR^2,
T^-1(u,v) = A^-1u[4pt]v = dfrac111 & dfrac211[8pt]dfrac-411 & dfrac311 u v = l(u+2v11,;-4u+3v11r) ]

Resposta

T^-1(u,v)=l(tfracu+2v11,;tfrac-4u+3v11r)

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