Considere a transformação linear T: R^3 R^3 dada por T(x, y, z)=(2 x, x-y,-z).
(a) Determine uma base do núcleo de T.

Passo 1

O enunciado pede o núcleo de T, ou seja, o conjunto de todos os vetores (x,y,z)inR^3 tais que
T(x,y,z) = (2x,;x-y,;-z) = (0,0,0)
Para encontrar esse núcleo, precisamos resolver esse sistema homogêneo.

Passo 2

Escrevendo as três equações do sistema:
2x = 0, x - y = 0, -,z = 0
Da primeira equação vem x=0. Substituindo na segunda, 0 - y=0 y=0. Da terceira, -z=0 z=0.

Passo 3

A única solução é (x,y,z)=(0,0,0). Logo
ker T = (0,0,0),
que é o subespaço trivial de dimensão zero. Um subespaço de dimensão zero não admite vetores não nulos em sua base, portanto a base é o conjunto vazio.

Resposta

A base de ker T é o conjunto vazio: emptyset.

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