Sejam a reta que passa pelo ponto e é paralela ao vetor e a reta de intersecção dos planos e
Mostre que e são retas reversas.
Passo 1
O enunciado dá duas retas no espaço:
– A reta passa por e tem vetor diretor .
– A reta é a interseção dos planos e .
Queremos mostrar que e são retas reversas (isto é, não são paralelas e não se intersectam).
Passo 2
Escrevemos a equação paramétrica de . Como passa por e tem direção ,
Passo 3
Para
então
Podemos simplificar o vetor diretor para .
Agora encontramos um ponto qualquer em : basta escolher um valor de e resolver
Tomando , e da primeira dá também . Por exemplo, , serve. Logo um ponto em é .
Assim
Passo 4
Para não serem paralelas, basta ver que os vetores v=(1,1,0) e w=(1,0,-1) não são múltiplos escalar: não existe lambda tal que (1,1,0)=lambda(1,0,-1). Portanto r1 e r2 não são paralelas.
Passo 5
Para não se intersectarem, tentamos resolver
(1,1,2)+s(1,1,0) ;=;(2,1,0)+t(1,0,-1)
Isso dá o sistema
1+s = 2+t, 1+s = 1, 2 = -,t
Da segunda equação vem s=0. Da terceira vem t=-2. Mas então a primeira dá 1+0=2+(-2), ou seja 1=0, contradição. Logo não há solução comum, isto é, não se intersectam.
Resposta
As retas r1 e r2 não são paralelas nem se intersectam e, portanto, são retas reversas.