Sejam ^r1 a reta que passa pelo ponto P1(1,1,2) e é paralela ao vetor v=(1,1,0) e r2 a reta de intersecção dos planos pi1: x+2 y+z=4 e pi2: x+z=2
Mostre que ^r1 e r2 são retas reversas.

Passo 1

O enunciado dá duas retas no espaço:
– A reta r1 passa por P1(1,1,2) e tem vetor diretor v=(1,1,0).
– A reta r2 é a interseção dos planos pi1:x+2y+z=4 e pi2:x+z=2.
Queremos mostrar que r1 e r2 são retas reversas (isto é, não são paralelas e não se intersectam).

Passo 2

Escrevemos a equação paramétrica de r1. Como passa por P1 e tem direção v,
r1(s): (x,y,z) = (1,1,2) + s,(1,1,0)

Passo 3

Para
então
Podemos simplificar o vetor diretor para .
Agora encontramos um ponto qualquer em : basta escolher um valor de e resolver
Tomando , e da primeira dá também . Por exemplo, , serve. Logo um ponto em é .
Assim

Passo 4

Para não serem paralelas, basta ver que os vetores v=(1,1,0) e w=(1,0,-1) não são múltiplos escalar: não existe lambda tal que (1,1,0)=lambda(1,0,-1). Portanto r1 e r2 não são paralelas.

Passo 5

Para não se intersectarem, tentamos resolver
(1,1,2)+s(1,1,0) ;=;(2,1,0)+t(1,0,-1)
Isso dá o sistema
1+s = 2+t, 1+s = 1, 2 = -,t
Da segunda equação vem s=0. Da terceira vem t=-2. Mas então a primeira dá 1+0=2+(-2), ou seja 1=0, contradição. Logo não há solução comum, isto é, não se intersectam.

Resposta

As retas r1 e r2 não são paralelas nem se intersectam e, portanto, são retas reversas.

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