Considere a transformação linear T: R^3 R^3 dada por T(x, y, z)=(2 x, x-y,-z).
(c) T é sobrejetora? Justifique.

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
;TcolonR^3toR^3,;T(x,y,z)=(2x,;x-y,;-z)
e pergunta se T é sobrejetora. O conteúdo envolve imagem de transformação linear e posto (rank) da matriz associada, pois uma aplicação linear de R^3 em R^3 é sobrejetora exatamente quando o posto da sua matriz é 3.

Passo 2

Vamos escrever a matriz de T nas bases canônicas de R^3. Observando
T(1,0,0)=(2,1,0), T(0,1,0)=(0,-1,0), T(0,0,1)=(0,0,-1),
vemos que
A= 2 & 0 & 0 1 & -1 & 0 0 & 0 & -1
é a matriz de T.

Passo 3

Para verificar a surjetividade, calculamos o posto de A. Como A é triangular, seus pivôs são os elementos da diagonal principal 2, -1, -1, todos não nulos, logo
rank(A)=3
Alternativamente, pode-se ver que
det(A)=2cdot(-1)cdot(-1)=2neq 0,
implicando rank(A)=3.

Passo 4

Como rank(A)=3 e dim(R^3)=3, a imagem de T é todo R^3. Portanto, T é sobrejetora.

Resposta

Sim. T é sobrejetora pois rank(A)=3=dim(R^3).

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