Considere a transformação linear dada por .
(c) T é sobrejetora? Justifique.
Passo 1
O enunciado define a transformação linear
e pergunta se é sobrejetora. O conteúdo envolve imagem de transformação linear e posto (rank) da matriz associada, pois uma aplicação linear de em é sobrejetora exatamente quando o posto da sua matriz é 3.
Passo 2
Vamos escrever a matriz de nas bases canônicas de . Observando
vemos que
é a matriz de T.
Passo 3
Para verificar a surjetividade, calculamos o posto de A. Como A é triangular, seus pivôs são os elementos da diagonal principal 2, -1, -1, todos não nulos, logo
rank(A)=3
Alternativamente, pode-se ver que
det(A)=2cdot(-1)cdot(-1)=2neq 0,
implicando rank(A)=3.
Passo 4
Como rank(A)=3 e dim(R^3)=3, a imagem de T é todo R^3. Portanto, T é sobrejetora.