Seja
uma transformação linear tal que
(transformação nula composta com ela mesma).
(b) Prove que
.
(b) Prove que
Passo 1
Resumindo: temos uma transformação linear
que satisfaz , ou seja, aplicar
duas vezes dá sempre o vetor zero. Queremos usar teoria de dimensão (Teorema do Posto-Nulidade) e propriedades de núcleo e imagem para mostrar
que satisfaz
Passo 2
Aplicamos o Teorema do Posto-Nulidade: para toda transformação linear
em espaços de dimensão finita vale
No nosso caso
, logo se chamarmos
então
Passo 3
Mostramos que
De fato, se
então existe
tal que
. Mas
logo
. Da inclusão de subespaços segue
Passo 4
Da desigualdade
e da soma
temos
Como
, concluímos o que se queria.