Seja T: R^n R^n uma transformação linear tal que T^2=0 (transformação nula composta com ela mesma).
(b) Prove que rank(T) <= 12 dim R^n.

Passo 1

Resumindo: temos uma transformação linear
;Tcolon R^nto R^n
que satisfaz ;T^2=0, ou seja, aplicar T duas vezes dá sempre o vetor zero. Queremos usar teoria de dimensão (Teorema do Posto-Nulidade) e propriedades de núcleo e imagem para mostrar
rank(T)<= tfrac12,dimR^n=tfrac n2

Passo 2

Aplicamos o Teorema do Posto-Nulidade: para toda transformação linear Tcolon Vto W em espaços de dimensão finita vale
dimker(T)+dimim(T)=dim V
No nosso caso V=R^n, logo se chamarmos
dimker(T)=k, dimim(T)=r,
então
k+r=n

Passo 3

Mostramos que
im(T)subseteqker(T)
De fato, se yin im(T) então existe x tal que y=T(x). Mas
T(y)=Tl(T(x)r)=T^2(x)=0,
logo yinker(T). Da inclusão de subespaços segue
r=dimim(T)<= dimker(T)=k

Passo 4

Da desigualdade r<= k e da soma k+r=n temos
r<= k Longrightarrow r<= n-r Longrightarrow 2r<= n Longrightarrow r<= tfrac n2
Como r=rank(T), concluímos o que se queria.

Resposta

rank(T)<= 12,dimR^n= n2

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