Prove que qualquer transformação linear pode ser representada como a multiplicação por uma matriz .
Passo 1
O enunciado pede para provar que toda transformação linear
pode ser escrita como multiplicação de um vetor por uma matriz .
O conteúdo aqui é o seguinte: em usamos a base canônica , de modo que qualquer vetor se escreve
como combinação linear de . A linearidade de faz o resto do trabalho.
Passo 2
Lembramos que a base canônica de é , onde cada tem coordenada na posição e nas demais.
Assim, dado , existem coordenadas tais que
Passo 3
Definimos então a matriz de tamanho cujas colunas são as imagens dos vetores da base canônica por .
Em outras palavras, para cada definimos
e montamos
ou seja,
Passo 4
Agora, usando a linearidade de T, para qualquer x=(x1,dots,xn) temos