Prove que qualquer transformação linear T: R^n R^m pode ser representada como a multiplicação por uma matriz m times n.

Passo 1

O enunciado pede para provar que toda transformação linear
T: R^n to R^m
pode ser escrita como multiplicação de um vetor por uma matriz mtimes n.
O conteúdo aqui é o seguinte: em R^n usamos a base canônica
e1,dots,en, de modo que qualquer vetor xinR^n se escreve
como combinação linear de ei. A linearidade de T faz o resto do trabalho.

Passo 2

Lembramos que a base canônica de R^n é
e1,dots,en, onde cada ei tem coordenada 1 na posição i e 0 nas demais.
Assim, dado xinR^n, existem coordenadas ,x1,dots,xn tais que
x = x1 e1 + x2 e2 + cdots + xn en

Passo 3

Definimos então a matriz A de tamanho mtimes n cujas colunas são as imagens dos vetores da base canônica por T.
Em outras palavras, para cada i=1,dots,n definimos
ai = T(ei)inR^m,
e montamos
A = l[a1;;a2;cdots;anr],
ou seja,
A = | & & | T(e1) & cdots & T(en) | & & |

Passo 4

Agora, usando a linearidade de T, para qualquer x=(x1,dots,xn) temos
T(x) = Tl(x1 e1 + cdots + xn enr) = x1,T(e1) + cdots + xn,T(en) = x1 a1 + cdots + xn an
Mas esta soma de colunas é exatamente a definição de produto matricial A x. Logo
T(x) = A,x forall,xinR^n

Resposta

Tomando A como a matriz mtimes n cujas colunas são T(e1),dots,T(en), obtemos
T(x) = A,x
para todo xinR^n, provando que toda transformação linear pode ser representada por uma matriz.

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