Seja T: R^n R^n uma transformação linear tal que T^2=0 (transformação nula composta com ela mesma).
(a) Mostre que Im(T) subseteq ker(T).

Passo 1

O enunciado diz que temos uma transformação linear Tcolon R^nto R^n tal que
T^2=0,
isto é, T(T(x))=0 para todo xinR^n. Queremos mostrar que todo vetor que sai de T (imagem de T) é enviado a zero por T, ou seja,
Im(T)subseteqker(T)

Passo 2

Seja yinIm(T). Por definição de imagem, existe algum xinR^n tal que
y = T(x)
Agora aplicamos T a y:
T(y)=Tl(T(x)r)=T^2(x)=0
Como T(y)=0, pelo que significa núcleo, concluímos que yinker(T).

Resposta

Im(T)subseteqker(T).

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