Considere a transformação linear A: R^2 longrightarrow R^2 dada por A(x, y)=(x, x-y);
Compare o polinômio característico do ítem anterior com o polinômio característico do operador A na base canônica.

Passo 1

O enunciado pede para comparar o polinômio característico obtido no item anterior com o polinômio característico da transformação linear A na base canônica de R^2. O conteúdo envolvido é a definição de matriz de um operador na base canônica e o cálculo de chiA(lambda)=det(A-lambda I).

Passo 2

Vamos achar a matriz de A na base canônica e1=(1,0),e2=(0,1). Calculamos
A(e1)=A(1,0)=(1,,1-0)=(1,1),
A(e2)=A(0,1)=(0,,0-1)=(0,-1)
Logo, a matriz de A na base canônica é
[A] = 1 & 0 [6pt] 1 & -1
]

Passo 3

Para obter o polinômio característico, montamos
chiA(lambda)=detl([A]-lambda Ir) =det1-lambda & 0 [4pt] 1 & -1-lambda
Como a segunda coluna tem um zero no canto superior, o determinante fica
chiA(lambda)=(1-lambda)(-1-lambda)-0 =-(1-lambda)(1+lambda) =(lambda-1)(lambda+1)
Portanto
chiA(lambda)=lambda^2-1
]

Passo 4

O polinômio característico lambda^2-1 coincide exatamente com o do item anterior, mostrando que o polinômio característico é independente da escolha de base.

Resposta

O polinômio característico de A na base canônica é
chiA(lambda)=lambda^2-1,
que coincide com o polinômio característico obtido no item anterior.

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