Considere a transformação linear A: R^2 longrightarrow R^2 dada por A(x, y)=(x, x-y);
Encontre o polinômio característico do operador A na base V;

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
Acolon R^2 to R^2, A(x,y) = (x,;x - y)
e pede o polinômio característico de A na base V. Como não foi especificada outra base, tomamos V=(1,0),(0,1), a base canônica. Para achar o polinômio característico usamos a definição
p(lambda)=detl([A] V-lambda Ir)

Passo 2

Calcular as imagens dos vetores da base canônica:
A(1,0) = (1,;1-0) = (1,1), A(0,1) = (0,;0-1) = (0,-1)

Passo 3

Montar a matriz de A na base V:
[A] V = 1 & 0 1 & -1 ,
pois as colunas são A(1,0) e A(0,1).

Passo 4

Formar [A] V-lambda I e calcular o determinante:
[A] V-lambda I = 1-lambda & 0 1 & -1-lambda ,
detl([A] V-lambda Ir) = (1-lambda)(-1-lambda)-0cdot1 = -(1-lambda)(1+lambda) = (lambda-1)(lambda+1) = lambda^2 - 1

Resposta

O polinômio característico de A é
p(lambda)=lambda^2-1

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