Considere a transformação linear A: R^2 longrightarrow R^2 dada por A(x, y)=(x, x-y);
Encontre os autovetores associados aos autovalores do operador A;

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os autovetores do operador linear A:R^2toR^2 definido por
A(x,y) = (x,;x - y)
Para isso, precisamos (i) escrever a matriz de A na base canônica, (ii) calcular os autovalores lambda pela equação det(A - lambda I)=0 e (iii) para cada lambda resolver (A-lambda I)v=0 para obter o autovetor v.

Passo 2

A matriz de na base canônica é
pois

Passo 3

O polinômio característico é
det(A - lambda I) = det 1-lambda & 0 1 & -1-lambda =(1-lambda)(-1-lambda) =lambda^2 - 1
As raízes são lambda=1 e lambda=-1.

Passo 4

Para resolvemos
Da segunda linha vem , ou seja . Logo os autovetores correspondentes a são todos os múltiplos de .

Passo 5

Para resolvemos
Da primeira linha vem , ou seja . A segunda linha não traz nova restrição. Logo os autovetores para são todos os múltiplos de .

Resposta

Para lambda=1 o espaço próprio é span(2,1)
Para lambda=-1 o espaço próprio é span(0,1)

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