Considere a transformação linear dada por ;
Encontre sua matriz na base ;
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem uma transformação linear definida por . O que precisamos fazer é encontrar a matriz dessa transformação na base . Para isso, vamos usar conceitos de transformação linear e mudança de base.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a transformação nos vetores da base . Ou seja, vamos calcular e .
Calculando :
Calculando :
Passo 3
Agora, precisamos expressar os resultados [A(v_{1})) e como combinações lineares dos vetores da base . Ou seja, encontrar coeficientes tais que:
Vamos começar com :
Isso nos dá o sistema de equações:
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação: (a = 1 - 2b]
Substituindo na segunda equação:
Então:
Portanto:
Passo 4
Agora, vamos fazer o mesmo para [A(v_{2}) = (2, 0)):
Isso nos dá o sistema de equações:
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação: (c = 2 - 2d]
Substituindo na segunda equação:
Então:
Portanto:
Passo 5
Com os coeficientes encontrados, podemos montar a matriz da transformação A na base V . A matriz será formada pelos coeficientes a, b na primeira coluna e c, d na segunda coluna: