Considere a transformação linear A: R^2 longrightarrow R^2 dada por A(x, y)=(x, x-y);
Encontre sua matriz na base V=v1=(1,3), v2=(2,2) subset R^2;

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma transformação linear A: R^2 R^2 definida por A(x, y) = (x, x - y) . O que precisamos fazer é encontrar a matriz dessa transformação na base V = v1 = (1, 3), v2 = (2, 2) . Para isso, vamos usar conceitos de transformação linear e mudança de base.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformação A nos vetores da base V . Ou seja, vamos calcular A(v1) e A(v2) .
Calculando A(v1) :
v1 = (1, 3)
A(v1) = A(1, 3) = (1, 1 - 3) = (1, -2)
Calculando A(v2) :
v2 = (2, 2)
A(v2) = A(2, 2) = (2, 2 - 2) = (2, 0)

Passo 3

Agora, precisamos expressar os resultados [A(v_{1})) e como combinações lineares dos vetores da base . Ou seja, encontrar coeficientes tais que:
Vamos começar com :
Isso nos dá o sistema de equações:
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação: (a = 1 - 2b]
Substituindo na segunda equação:
Então:
Portanto:

Passo 4

Agora, vamos fazer o mesmo para [A(v_{2}) = (2, 0)):
Isso nos dá o sistema de equações:
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação: (c = 2 - 2d]
Substituindo na segunda equação:
Então:
Portanto:

Passo 5

Com os coeficientes encontrados, podemos montar a matriz da transformação A na base V . A matriz será formada pelos coeficientes a, b na primeira coluna e c, d na segunda coluna:
[A]V = -32 & -1 54 & 32

Resposta

A matriz da transformação A na base V é:
[A]V = -dfrac32 & -1 dfrac54 & dfrac32

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