Considere a transformação linear A: R^2 longrightarrow R^2 dada por A(x, y)=(x, x-y);
Encontre os autovalores do operador A;

Passo 1

O enunciado pede os autovalores da transformação linear A:R^2toR^2 definida por
A(x,y) = (x,;x - y)
Para isso vamos usar o conceito de autovalor: lambda é autovalor de A se existir vetor não-nulo v tal que
A(v) = lambda,v,
o que leva a resolver o polinômio característico det(A - lambda I)=0.

Passo 2

Vamos escrever a matriz de A na base canônica e1,e2. Aplicando A em e1=(1,0) e em e2=(0,1) temos
A(1,0) = (1,1), A(0,1) = (0,-1)
Logo, a matriz de A é
[A] = 1 & 0 [6pt] 1 & -1
]

Passo 3

Para encontrar o polinômio característico calculamos
detl([A] - lambda Ir) = det 1 - lambda & 0 [4pt] 1 & -1 - lambda = (1 - lambda),(-1 - lambda) - 0cdot1
Portanto
detl([A] - lambda Ir) = -(1 - lambda)(1 + lambda)
]

Passo 4

Impondo det([A] - lambda I)=0 ficamos com
-(1 - lambda)(1 + lambda) = 0 Longrightarrow (1 - lambda)(1 + lambda) = 0
Isso dá as raízes
lambda = 1 ou lambda = -1

Resposta

lambda1 = 1 e lambda2 = -1.

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