Considere a transformação linear T: R^3 R^3 dada por T(x, y, z)=(2 x+z, x-y, z).
Determine lambda neq 0, com T(v)=lambda v;

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
TcolonR^3toR^3, T(x,y,z)=(2x+z,;x-y,;z)
e pede todos os lambdaneq0 tais que existe vneq0 com
T(v)=lambda v
Ou seja, estamos procurando os autovalores não nulos de T e seus autovetores.

Passo 2

Vamos escrever na base canônica como matriz . Se ,
corresponde a
pois

Passo 3

Os autovalores lambda satisfazem
det(A - lambda I)=0
Calculamos
A-lambda I = 2-lambda & 0 & 1 1 & -1-lambda & 0 0 & 0 & 1-lambda
e
det(A-lambda I) =(1-lambda)det2-lambda&01&-1-lambda =(1-lambda)l((2-lambda)(-1-lambda)-0r)

Passo 4

Expandindo,
(2-lambda)(-1-lambda)=-(2-lambda)(1+lambda) =-(2-lambda)(lambda+1),
logo
det(A-lambda I)=-(1-lambda)(2-lambda)(lambda+1)
As raízes são
lambda=1, lambda=2, lambda=-1,
nenhuma delas é zero.

Passo 5

Agora achamos um autovetor em cada caso resolvendo (A-lambda I)v=0:
Para lambda=1:
A-I=1&0&11&-2&00&0&0,
as equações são
;x+z=0implies z=-x,;
;x-2y=0implies y=tfracx2
Logo um autovetor é
v1=(1,tfrac12,-1)
Para lambda=2:
A-2I=0&0&11&-3&00&0&-1,
z=0 e x-3y=0implies x=3y.
Um autovetor é
v2=(3,1,0)
Para lambda=-1:
A+I=3&0&11&0&00&0&2,
z=0, x=0 e y livre.
Um autovetor é
v3=(0,1,0)

Resposta

Os autovalores não nulos são
lambda=1,2,-1
com autovetores correspondentes, por exemplo:
lambda=1colon v=(1,tfrac12,-1), lambda=2colon v=(3,1,0), lambda=-1colon v=(0,1,0)

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