Considere a transformação linear
dada por
.
Determine
, com
;
Determine
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear
e pede todos os
tais que existe
com
Ou seja, estamos procurando os autovalores não nulos de
e seus autovetores.
Passo 2
Vamos escrever
na base canônica como matriz
. Se
,
corresponde a
pois
Passo 3
Os autovalores
lambda satisfazem
Calculamos
e
Passo 4
Expandindo,
logo
As raízes são
nenhuma delas é zero.
Passo 5
Agora achamos um autovetor em cada caso resolvendo
(A-lambda I)v=0 :
Para
lambda=1 :
as equações são
;x+z=0implies z=-x,;
;x-2y=0implies y=tfracx2
Logo um autovetor é
Logo um autovetor é
Para
lambda=2 :
dá
z=0 e
x-3y=0implies x=3y .
Um autovetor é
Um autovetor é
Para
lambda=-1 :
dá
z=0 ,
x=0 e
y livre.
Um autovetor é
Um autovetor é
Resposta
Os autovalores não nulos são
lambda=1,2,-1
com autovetores correspondentes, por exemplo:
com autovetores correspondentes, por exemplo: