Considere a transformação linear T: R^3 R^3 dada por T(x, y, z)=(2 x+z, x-y, z).
Determine a matriz de T na base de autovetores.

Passo 1

O enunciado pede a matriz de T na base formada por autovetores. Isso significa que precisamos (i) escrever a matriz de T na base canônica de R^3, (ii) encontrar seus autovalores e autovetores, e (iii) observar que na base de autovetores a matriz de T fica diagonal com os autovalores na diagonal.

Passo 2

Vamos primeiro obter a matriz de T na base canônica e1,e2,e3. Para isso, avaliamos
T(e1)=T(1,0,0)=(2cdot1+0,;1-0,;0)=(2,1,0),
T(e2)=T(0,1,0)=(0+0,;0-1,;0)=(0,-1,0),
T(e3)=T(0,0,1)=(0+1,;0-0,;1)=(1,0,1).
Logo, a matriz de T na base canônica é
A = 2 & 0 & 1 1 & -1 & 0 0 & 0 & 1

Passo 3

Para achar os autovalores, calculamos o polinômio característico
det(A - lambda I) =det 2-lambda & 0 & 1 1 & -1-lambda & 0 0 & 0 & 1-lambda =(1-lambda)det2-lambda&01&-1-lambda
E
det2-lambda&01&-1-lambda =(2-lambda)(-1-lambda)
Portanto
det(A - lambda I) =(1-lambda)(2-lambda)(-1-lambda) =(lambda-1)(lambda-2)(lambda+1)

Passo 4

Os autovalores são as raízes de (lambda-1)(lambda-2)(lambda+1)=0, ou seja
lambda1 = 1, lambda2 = 2, lambda3 = -1

Passo 5

Agora encontramos um autovetor para cada valor de [\lambda).
Para , resolvemos :
Daí . Escolhendo , obtemos
Para , resolvemos :
Tomando (y=1], vem
Para
Assim, escolhendo (y=1], obtemos

Passo 6

Os vetores v1,v2,v3 são autovetores linearmente independentes. Se montarmos a base de autovetores
B = v1,v2,v3,
a matriz de T nessa base é diagonal, com os autovalores na diagonal, na mesma ordem dos vetores escolhidos.

Resposta

Na base de autovetores (2,1,-2),(3,1,0),(0,1,0), a matriz de T é
[T]B = 1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & -1

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