Determine o volume de uma esfera circunscrita a um cone de revolução cujo raio da base mede 10 cm e cuja altura mede 20 cm .

Passo 1

O enunciado pede o volume de uma esfera circunscrita a um cone de revolução de raio da base R=10 cm e altura h=20 cm.
Conteúdo: geometria no espaço envolvendo distância de um ponto ao centro de uma esfera. Vamos colocar o eixo de revolução como eixo z, de modo que o vértice do cone seja A=(0,0,h) e a base seja o círculo de raio R no plano z=0. A esfera terá centro C=(0,0,c) sobre o mesmo eixo e raio r, e deve passar por A e por qualquer ponto da circunferência da base.

Passo 2

Distância do centro C=(0,0,c) ao vértice A=(0,0,h) deve ser igual ao raio r, isto é,
r = |h - c|

Passo 3

Distância do centro C a um ponto qualquer da base, por exemplo (R,0,0)=(10,0,0), também deve dar r. Logo,
r = raizR^2 + c^2 = raiz10^2 + c^2 = raiz100 + c^2

Passo 4

Igualando as duas expressões para r, obtemos
(h - c)^2 = R^2 + c^2 Longrightarrow (20 - c)^2 = 100 + c^2
Desenvolvendo,
400 - 40c + c^2 = 100 + c^2 Longrightarrow 400 - 40c = 100 Longrightarrow 40c = 300 Longrightarrow c = 7,5 cm
Logo,
r = h - c = 20 - 7,5 = 12,5 cm

Passo 5

O volume da esfera é
V = 43,pi,r^3 = 43,pi,(12,5)^3 = 43,pi;156258 = 156256,pi cm^3

Resposta

V = 156256,pi cm^3

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