Determine o volume de uma esfera circunscrita a um cone de revolução cujo raio da base mede 10 cm e cuja altura mede 20 cm .
Passo 1
O enunciado pede o volume de uma esfera circunscrita a um cone de revolução de raio da base
e altura
.
Conteúdo: geometria no espaço envolvendo distância de um ponto ao centro de uma esfera. Vamos colocar o eixo de revolução como eixo , de modo que o vértice do cone seja
e a base seja o círculo de raio
no plano
. A esfera terá centro
sobre o mesmo eixo e raio
, e deve passar por
e por qualquer ponto da circunferência da base.
Conteúdo: geometria no espaço envolvendo distância de um ponto ao centro de uma esfera. Vamos colocar o eixo de revolução como eixo
Passo 2
Distância do centro
ao vértice
deve ser igual ao raio
, isto é,
Passo 3
Distância do centro
a um ponto qualquer da base, por exemplo
, também deve dar
. Logo,
Passo 4
Igualando as duas expressões para
, obtemos
Desenvolvendo,
Logo,
Passo 5
O volume da esfera é