Considere a transformação linear em R^3 dada por T(x, y, z)=(-y, 2 x+2 y+z, y).
(1,0)- Determine os autovalores e autovetores de T.

Passo 1

Beleza! A gente tem uma transformação linear T: R^3 R^3 definida por T(x, y, z) = (-y, 2x + 2y + z, y) . O objetivo aqui é encontrar os autovalores (valores de lambda que satisfazem a equação característica) e os autovetores (vetores não nulos que, quando transformados por T , apenas mudam de escala pelo autovalor correspondente). Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear como matrizes, determinantes e sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos representar a transformação linear T na forma de uma matriz. Para isso, observamos que:
T(x, y, z) = -y 2x + 2y + z y
Podemos escrever a matriz associada a T como A :
A = 0 & -1 & 0 2 & 2 & 1 0 & 1 & 0
Aqui, cada coluna representa a imagem dos vetores canônicos e1, e2, e3 sob a transformação T .

Passo 3

Agora, vamos encontrar os autovalores de A . Para isso, precisamos resolver a equação característica:
det(A - lambda I) = 0
Onde I é a matriz identidade e lambda é o escalar que estamos procurando. Vamos calcular A - lambda I :
A - lambda I = -lambda & -1 & 0 2 & 2 - lambda & 1 0 & 1 & -lambda
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = -lambda cdot ((2 - lambda)(-lambda) - 1 cdot 1) + 1 cdot (2 cdot (-lambda) - 1 cdot 0) + 0 cdot (outros termos)
Simplificando:
det(A - lambda I) = -lambda cdot [ -2lambda + lambda^2 - 1 ] + 1 cdot (-2lambda) = -lambda (lambda^2 - 2lambda -1) -2lambda = -lambda^3 + 2lambda^2 + lambda -2lambda = -lambda^3 + 2lambda^2 - lambda
Colocando em ordem:
-lambda^3 + 2lambda^2 - lambda = 0 implies lambda (lambda^2 - 2lambda +1) = 0
Resolvendo a equação:
lambda = 0 ou lambda^2 - 2lambda +1 = 0
A segunda equação é um quadrado perfeito:
(lambda -1)^2 = 0 implies lambda = 1
Então, os autovalores são lambda1 = 0 e lambda2 = 1 (com multiplicidade 2).

Passo 4

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para [\lambda_1 = 0):
Resolvemos :
Isso nos dá o sistema:
Da primeira e terceira equações, temos (y = 0]. Substituindo na segunda:
Então, os autovetores para [\lambda = 0) são da forma:
Onde é qualquer número real diferente de zero.
Para :
Resolvemos :
O sistema fica:
Da primeira equação: (x = -y].
Da terceira equação: .
Substituindo e na segunda equação:
Isso significa que é livre. Assim, os autovetores para são da forma:
Onde é qualquer número real diferente de zero.

Resposta

Os autovalores de T são lambda = 0 e lambda = 1 .
  • Para lambda = 0 , um autovetor correspondente é 1 0 -2 .
  • Para lambda = 1 , os autovetores correspondentes são múltiplos de -1 1 1 .

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