Considere a transformação linear em R^3 dada por T(x, y, z)=(-y, 2 x+2 y+z, y).
( 1,0 )- Determine as dimensões do núcleo a da imagem de T e diga se ela é injetiva e se é sobrejetiva.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma transformação linear T que pega um vetor de R^3 e transforma em outro vetor também em R^3 . A transformação é dada por:
T(x, y, z) = (-y, 2x + 2y + z, y)
O que a gente precisa descobrir são as dimensões do núcleo e da imagem dessa transformação, além de saber se T é injetiva e sobrejetiva. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear relacionados a transformações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o núcleo de T . O núcleo é o conjunto de todos os vetores (x, y, z) que são mapeados para o vetor zero:
T(x, y, z) = (0, 0, 0)
Então, temos o sistema de equações:
-y = 0 2x + 2y + z = 0 y = 0
Vamos resolver esse sistema passo a passo.

Passo 3

Da primeira e terceira equação, vemos que:
-y = 0 implies y = 0 y = 0
Com y = 0 , substituímos na segunda equação:
2x + 2(0) + z = 0 implies 2x + z = 0 implies z = -2x
Então, os vetores do núcleo têm a forma (x, 0, -2x) .

Passo 4

Podemos expressar o núcleo como:
Núc<=o(T) = x(1, 0, -2) mid x in R ú
Isso significa que o núcleo é uma reta que passa pela origem e é gerada pelo vetor (1, 0, -2) . Portanto, a dimensão do núcleo é 1.

Passo 5

Agora, vamos encontrar a imagem de T . A imagem é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando T nos vetores de R^3 . Para isso, podemos escrever a transformação na forma de uma matriz:
A = 0 & -1 & 0 2 & 2 & 1 0 & 1 & 0
A imagem de T é o espaço gerado pelas colunas dessa matriz.

Passo 6

Vamos verificar a independência linear das colunas de A . Observando as colunas:
Coluna 1: 0 2 0 , Coluna 2: -1 2 1 , Coluna 3: 0 1 0
Podemos notar que a terceira coluna é uma combinação linear das primeiras duas, então a imagem de T é gerada por duas vetores linearmente independentes. Portanto, a dimensão da imagem é 2.

Passo 7

Agora, vamos analisar a injetividade e a sobrejetividade de T :
  • Injetiva: Uma transformação é injetiva se o núcleo contém apenas o vetor zero. Aqui, o núcleo tem dimensão 1, ou seja, contém infinitos vetores além do zero. Logo, T não é injetiva.
  • Sobrejetiva: Uma transformação é sobrejetiva se a imagem é igual ao espaço de chegada, que nesse caso é R^3 . Porém, a imagem de T tem dimensão 2, que é menor que 3. Assim, T não é sobrejetiva.

Resposta

O núcleo de T tem dimensão 1, a imagem de T tem dimensão 2, e a transformação T não é injetiva nem sobrejetiva.

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