Considere a transformação linear em R^3 dada por T(x, y, z)=(-y, 2 x+2 y+z, y).
Determine os autovalores e autovetores de T.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os autovalores e autovetores da transformação linear
Tcolon R^3toR^3, T(x,y,z)=(-y,;2x+2y+z,;y)
O conteúdo aqui é autovalores em álgebra linear: vamos precisar representar T pela sua matriz na base canônica, calcular o polinômio característico det(A-lambda I), obter suas raízes (autovalores) e então resolver (A-lambda I)v=0 para achar cada autovetor.

Passo 2

Na base canônica , escrevemos
portanto

Passo 3

O polinômio característico é
det(A-lambda I) =det -lambda & -1 & 0 2 & 2-lambda& 1 0 & 1 & -lambda
Expandindo pela primeira linha:
det(A-lambda I) =-lambdal((2-lambda)(-lambda)-1cdot1r) -(-1)l(2cdot(-lambda)-1cdot0r)
Isso dá
-lambdal(lambda^2-2lambda-1r)-2lambda =-lambdal(lambda^2-2lambda+1r) =-lambda(lambda-1)^2
Logo os autovalores são
lambda1=0, lambda2=1 (mu<iplicidade 2)

Passo 4

Para lambda=0 resolvemos A,v=0. Se v=(x,y,z), o sistema é
-y=0, 2x+2y+z=0, y=0
Da primeira e da terceira equações vem y=0; então 2x+z=0Rightarrow z=-2x. Assim
v=x,(1,0,-2),
e o espaço próprio de lambda=0 é gerado por (1,0,-2).

Passo 5

Para resolvemos , isto é
As equações são
Da primeira vem , da terceira vem , e a segunda fica redundante. Logo
e o espaço próprio de é gerado por .

Resposta

Os autovalores são lambda=0 e lambda=1.
Um autovetor associado a lambda=0 é (1,0,-2).
Um autovetor associado a lambda=1 é (-1,1,1).

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