Determine o(s) valore(s) de k para q a reta (k+4)x+(9-k^2)y+(k-6)^2=0.
seja paralela ao eixo y;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os valores de k que fazem com que a reta (k+4)x + (9 - k^2)y + (k-6)^2 = 0 seja paralela ao eixo y . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre a inclinação das retas e como identificá-las.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como identificar a orientação de uma reta a partir da sua equação geral. A equação geral de uma reta é dada por:
Ax + By + C = 0
Onde:
  • A é o coeficiente de x
  • B é o coeficiente de y
  • C é o termo constante
Se a reta é paralela ao eixo y , isso significa que ela é vertical. E uma reta vertical tem uma inclinação indefinida, o que ocorre quando o coeficiente de y ( B ) é igual a zero. Assim, para nossa reta ser paralela ao eixo y , precisamos que:
B = 0

Passo 3

Vamos identificar os coeficientes na equação dada:
(k+4)x + (9 - k^2)y + (k-6)^2 = 0
Aqui:
  • A = k + 4
  • B = 9 - k^2
  • C = (k - 6)^2
Para que a reta seja paralela ao eixo y , vamos igualar B a zero:
9 - k^2 = 0

Passo 4

Agora, resolvemos a equação para encontrar os valores de k :
9 - k^2 = 0 Rightarrow k^2 = 9 Rightarrow k = pm 3
Portanto, os valores de k que satisfazem essa condição são k = 3 e k = -3 .

Resposta

Os valores de k que tornam a reta paralela ao eixo y são k = 3 e k = -3 .

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