Esboce o gráfico e determine a equação da reta que satisfaz as seguintes propriedades:
inclinação de 45^circ e passa pelo ponto médio dos pontos (3,-5) e (1,-1);

Passo 1

Beleza, vamos resolver um problema de geometria analítica! A gente precisa encontrar a equação de uma reta que tem inclinação de 45^circ e passa pelo ponto médio entre os pontos (3, -5) e (1, -1). Para isso, vamos precisar calcular o ponto médio e usar a fórmula da equação da reta com inclinação.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o ponto médio entre (3, -5) e (1, -1). O ponto médio M entre dois pontos (x1, y1) e (x2, y2) é dado por:
M = ( x1 + x22, y1 + y22 )

Passo 3

Aplicando a fórmula:
M = ( 3 + 12, -5 + (-1)2 ) = ( 42, -62 ) = (2, -3)
Então, o ponto médio é (2, -3).

Passo 4

Agora, sabemos que a inclinação da reta é de 45^circ. Em geometria analítica, a inclinação m de uma reta é a tangente do ângulo que ela forma com o eixo x. Então:
m = tan(45^circ) = 1
Portanto, a inclinação da reta é m = 1.

Passo 5

Com o ponto (2, -3) e a inclinação m = 1, podemos usar a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação:
y - y1 = m(x - x1)
Substituindo m = 1, x1 = 2 e y1 = -3:
y - (-3) = 1(x - 2)

Passo 6

Simplificando a equação:
y + 3 = x - 2
Subtraindo 3 dos dois lados:
y = x - 5

Resposta

A equação da reta é y = x - 5.

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