Determine o(s) valore(s) de k para q a reta (k+4)x+(9-k^2)y+(k-6)^2=0.
seja paralela ao eixo x;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma reta dada pela equação (k+4)x + (9 - k^2)y + (k-6)^2 = 0 e precisa descobrir para quais valores de k essa reta é paralela ao eixo x. Isso envolve entender um pouco de geometria analítica, especificamente sobre inclinação (ou coeficiente angular) de retas e condições de paralelismo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma reta paralela ao eixo x é uma reta horizontal. Isso significa que ela não tem inclinação, ou seja, seu coeficiente angular é zero. Na forma geral da equação da reta Ax + By + C = 0, o coeficiente angular m é dado por -AB. Para a reta ser horizontal, precisamos que m = 0, o que acontece quando A = 0.

Passo 3

Vamos aplicar isso na nossa equação. Identificando os coeficientes:
A = k + 4 B = 9 - k^2 C = (k - 6)^2
Para que a reta seja paralela ao eixo x, precisamos que A = 0. Então, temos:
k + 4 = 0

Passo 4

Resolvendo a equação acima para k:
k = -4

Passo 5

Mas não podemos esquecer de verificar se B não é zero nesse valor de k, porque se B = 0, a equação da reta não seria válida para termos retas horizontais. Substituindo k = -4 em B:
B = 9 - (-4)^2 = 9 - 16 = -7
Como -7 neq 0, está tudo certo!

Resposta

O valor de k que torna a reta paralela ao eixo x é k = -4.

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