Considere a transformação linear T: R^2 R^2 dada por T(x, y)=(x+y, x-y).
T é sobrejetora? Justifique!

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a transformação linear
Tcolon R^2toR^2, T(x,y)=(x+y,;x-y)
é sobrejetora. Estamos trabalhando com teoria de transformações lineares em espaços de mesma dimensão, onde usaremos o critério de invertibilidade (determinante não nulo) para mostrar surjetividade.

Passo 2

Em relação à base padrão, a matriz de T é
A = 1 & 1 1 & -1
Sabemos que uma transformação linear de R^2 em R^2 é sobrejetora se, e somente se, sua matriz for invertível (isto é, tiver determinante não zero).

Passo 3

Calculamos o determinante de A:
det(A) = (1)(-1) - (1)(1) = -1 - 1 = -2 neq 0
Como det(A)neq 0, a matriz A é invertível, logo T é bijetora e, em particular, sobrejetora.

Resposta

Sim. A transformação T é sobrejetora, pois a matriz associada tem determinante -2neq 0, o que garante invertibilidade e, portanto, que todo (u,v)inR^2 tem um pré-imagem em R^2.

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