Considere a transformação linear dada por . é sobrejetora? Justifique!
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a transformação linear
é sobrejetora. Estamos trabalhando com teoria de transformações lineares em espaços de mesma dimensão, onde usaremos o critério de invertibilidade (determinante não nulo) para mostrar surjetividade.
Passo 2
Em relação à base padrão, a matriz de é
Sabemos que uma transformação linear de R^2 em R^2 é sobrejetora se, e somente se, sua matriz for invertível (isto é, tiver determinante não zero).
Passo 3
Calculamos o determinante de A:
det(A) = (1)(-1) - (1)(1) = -1 - 1 = -2 neq 0
Como det(A)neq 0, a matriz A é invertível, logo T é bijetora e, em particular, sobrejetora.
Resposta
Sim. A transformação T é sobrejetora, pois a matriz associada tem determinante -2neq 0, o que garante invertibilidade e, portanto, que todo (u,v)inR^2 tem um pré-imagem em R^2.