Sejam u=(x1, x2) e v=(y1, y2) dois vetores de R^2. Mostre que
lang<= u, vrang<==x1 y1-2 x1 y2-2 x2 y1+5 x2 y2
é um produto interno sobre o R^2.

Passo 1

O enunciado define os vetores
;u=(x1,x2),
;v=(y1,y2)
em R^2 e a aplicação
lang<= u,vrang<= ;=; x1y1;-;2,x1y2;-;2,x2y1;+;5,x2y2
Para mostrar que isso é um produto interno, precisamos verificar três propriedades:
  1. bilinearidade,
  2. simetria,
  3. positividade definida.

Passo 2

Verificamos primeiro a bilinearidade e a simetria. Seja u=(x1,x2), w=(x1',x2'), v=(y1,y2) e cinR. Então:
lang<= u+w,vrang<= = (x1+x1')y1 -2,(x1+x1')y2 -2,(x2+x2')y1 +5,(x2+x2')y2
= x1y1-2x1y2-2x2y1+5x2y2 ;+; x1'y1-2x1'y2-2x2'y1+5x2'y2
= lang<= u,vrang<= ;+;lang<= w,vrang<=,
lang<= c,u,vrang<= = c,l(x1y1-2x1y2-2x2y1+5x2y2r) = c,lang<= u,vrang<=
Como o coeficiente de x1y2 e de x2y1 é o mesmo ( -2), trocando u por v a fórmula não muda, ou seja
lang<= u,vrang<= = lang<= v,urang<=
Logo a forma é bilinear e simétrica.

Passo 3

Agora a positividade definida. Calculamos
lang<= u,urang<= = x1^2 -2cdot2,x1x2 +5,x2^2 = x1^2-4x1x2+5x2^2
Fazendo completamento de quadrado:
x1^2-4x1x2+5x2^2 = (x1-2x2)^2 + x2^2 ;>=;0
E a soma só é zero se
x1-2x2=0 e x2=0 ;,Longrightarrow;, x1=0,;x2=0,
isto é, u=0. Portanto lang<= u,urang<=>0 sempre que uneq0.

Resposta

Concluímos que lang<=cdot,cdotrang<= satisfaz bilinearidade, simetria e positividade definida, logo é um produto interno em R^2.

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