Sejam
e
dois vetores de
. Mostre que
é um produto interno sobre o
.
Passo 1
O enunciado define os vetores
,
em e a aplicação
em
Para mostrar que isso é um produto interno, precisamos verificar três propriedades:
- bilinearidade,
- simetria,
- positividade definida.
Passo 2
Verificamos primeiro a bilinearidade e a simetria. Seja
,
,
e
. Então:
Como o coeficiente de
e de
é o mesmo (
), trocando
por
a fórmula não muda, ou seja
Logo a forma é bilinear e simétrica.
Passo 3
Agora a positividade definida. Calculamos
Fazendo completamento de quadrado:
E a soma só é zero se
isto é,
. Portanto
sempre que
.
Resposta
Concluímos que
satisfaz bilinearidade, simetria e positividade definida, logo é um produto interno em
.