Seja T: R^3 R^3 a projeção no plano xy. Encontre a matriz de T e determine seu posto e nulidade.

Passo 1

O enunciado pede a projeção ,T:R^3toR^3 no plano xy. Isso significa que todo vetor (x,y,z) é enviado em (x,y,0). Para resolver, vamos usar representação matricial na base canônica e depois aplicar o Teorema da Dimensão (posto–nulidade).

Passo 2

Tomando a base canônica e1,e2,e3 de R^3, em que
e1=(1,0,0), e2=(0,1,0), e3=(0,0,1),
calculamos
T(e1)=(1,0,0), T(e2)=(0,1,0), T(e3)=(0,0,0)
Na representação matricial, cada coluna é T(ei) escrita em coordenadas; assim,
[T] = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0

Passo 3

O posto de T é o número de colunas linearmente independentes em [T]. As duas primeiras colunas são independentes e a terceira é nula. Logo,
posto(T)=2

Passo 4

Pela fórmula de posto–nulidade em R^3,
dim(ker T)+posto(T)=3,
então
dim(ker T)=3-2=1
De fato, ker T=(0,0,z)mid zinR=span(e3).

Resposta

A matriz de T na base canônica é
1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 ,
com posto 2 e nulidade 1.

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