Considere a transformação linear
dada por
Determine uma base do núcleo de
e calcule a dimensão da imagem de
.
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear
e pede (i) uma base do núcleo de
e (ii) a dimensão da imagem de
.
Conteúdo: núcleo (solução homogênea ) e imagem (geralmente via teorema do posto-nulidade ou encontrando vetores geradores).
Conteúdo: núcleo (solução homogênea
Passo 2
Para achar o núcleo, impomos
Da primeira e da terceira equação segue vem
, ou seja
.
Logo os vetores do núcleo são
Portanto uma base de
é
Passo 3
Para a dimensão da imagem podemos usar o teorema do posto-nulidade:
Como
, segue
Como verificação alternativa, note que
logo
, que tem posto
.
Resposta
Base de
:
.
.