Considere a transformação linear
T: R^3 R^3
dada por
T(x, y, z)=(-z, x+y+2 z, z)
Determine uma base do núcleo de T e calcule a dimensão da imagem de T.

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
TcolonR^3toR^3, T(x,y,z)=(-z,;x+y+2z,;z)
e pede (i) uma base do núcleo de T e (ii) a dimensão da imagem de T.
Conteúdo: núcleo (solução homogênea T(x,y,z)=0) e imagem (geralmente via teorema do posto-nulidade ou encontrando vetores geradores).

Passo 2

Para achar o núcleo, impomos
Da primeira e da terceira equação segue vem , ou seja .
Logo os vetores do núcleo são
Portanto uma base de é

Passo 3

Para a dimensão da imagem podemos usar o teorema do posto-nulidade:
dimker(T) + dimIm(T) = 3
Como dimker(T)=1, segue
dimIm(T) = 3 - 1 = 2
Como verificação alternativa, note que
T(1,0,0) = (0,1,0), T(0,1,0) = (0,1,0), T(0,0,1) = (-1,2,1),
logo Im(T)=span(0,1,0),,(-1,2,1), que tem posto 2.

Resposta

Base de ker(T): (1,-1,0).
dimIm(T)=2.

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