Encontre a fórmula das transformações lineares T: R^2 R^3 tais que
T(1,-1)=(2,0,-3) e T(2,1)=(1,1,0).

Passo 1

O enunciado pede para determinar a forma geral de uma transformação linear
Tcolon R^2toR^3 sabendo que
T(1,-1)=(2,0,-3) e T(2,1)=(1,1,0).
Vamos usar a representação matricial de T com incógnitas e impor essas imagens para obter um sistema linear.

Passo 2

Escrevemos o efeito de T em coordenadas como
T(x,y) = a & b c & d e & f x y = l(a x + b y,; c x + d y,; e x + f yr)

Passo 3

Impondo T(1,-1)=(2,0,-3) obtemos o sistema
a - b = 2, c - d = 0, e - f = -3

Passo 4

Impondo T(2,1)=(1,1,0) obtemos
2a + b = 1, 2c + d = 1, 2e + f = 0

Passo 5

Do sistema para a,b:
a - b = 2, 2a + b = 1 ;Longrightarrow; 3a = 3Rightarrow a=1, b=a-2= -1

Passo 6

Do sistema para c,d:
c - d = 0, 2c + d = 1 ;Longrightarrow; c=d, 3c=1Rightarrow c=d=tfrac13

Passo 7

Do sistema para e,f:
e - f = -3, 2e + f = 0 ;Longrightarrow; f=-2e,;3e=-3Rightarrow e=-1,;f=2

Passo 8

Reunindo os coeficientes, a matriz de T é
1 & -1 tfrac13 & tfrac13 -1 & 2 ,
ou seja,
T(x,y)=l(x - y,;tfrac13x+tfrac13y,;-x+2yr)

Resposta

T(x,y)=l(x - y,;tfrac13(x+y),;-x+2yr)

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