Encontre a fórmula das transformações lineares tais que e .
Passo 1
O enunciado pede para determinar a forma geral de uma transformação linear sabendo que e .
Vamos usar a representação matricial de com incógnitas e impor essas imagens para obter um sistema linear.
Passo 2
Escrevemos o efeito de em coordenadas como
Passo 3
Impondo T(1,-1)=(2,0,-3) obtemos o sistema
a - b = 2, c - d = 0, e - f = -3
Passo 4
Impondo T(2,1)=(1,1,0) obtemos
2a + b = 1, 2c + d = 1, 2e + f = 0
Passo 5
Do sistema para a,b:
a - b = 2, 2a + b = 1 ;Longrightarrow; 3a = 3Rightarrow a=1, b=a-2= -1
Passo 6
Do sistema para c,d:
c - d = 0, 2c + d = 1 ;Longrightarrow; c=d, 3c=1Rightarrow c=d=tfrac13
Passo 7
Do sistema para e,f:
e - f = -3, 2e + f = 0 ;Longrightarrow; f=-2e,;3e=-3Rightarrow e=-1,;f=2