Dados dois espaços vetoriais reais
e
e uma base de
,
, sejam
elementos arbitrários de
. Entāo existe uma única aplicação linear
tal que
. Esta aplicação é dada por:
Verifique que
assim definda é linear eque é a única que satisfaz as condiçōes exigidas.
Passo 1
Resumindo: temos dois espaços vetoriais reais
e
, uma base
de
e vetores arbitrários
em
. Definimos uma aplicação por coordenadas: se
então
O objetivo é (a) verificar que
é linear e (b) mostrar que não existe outra aplicação linear com
.
Passo 2
Verificação de bem-definição: como
é base de
, cada
tem uma única escrita
. Logo a fórmula
é unívoca, ou seja, não depende de nenhuma escolha extra.
Passo 3
Provar linearidade:
- Soma: seja
. Então
e, aplicando
,
- Multiplicação por escalar: para
,
e
Logo,
satisfaz
e
, ou seja, é linear.
Passo 4
Provar unicidade: suponha
linear com
para todo
. Dado
, a linearidade de
dá
Isso mostra
em todo
. Portanto, não há outra aplicação linear que envie
em
.
Resposta
A aplicação
definida por
é linear e única satisfazendo
para
.