Dados dois espaços vetoriais reais V e W e uma base de V, v1, ldots, vn, sejam w1, ldots, wn elementos arbitrários de w. Entāo existe uma única aplicação linear T: V W tal que T(v1)=w1, ldots, T(vn)=wn. Esta aplicação é dada por:
l se v=a1 v1+ldots+an vn, T(v) & =a1 T(v1)+ldots+an T(vn) & =a1 w1+ldots+an wn
Verifique que T assim definda é linear eque é a única que satisfaz as condiçōes exigidas.

Passo 1

Resumindo: temos dois espaços vetoriais reais V e W, uma base v1,dots,vn de V e vetores arbitrários w1,dots,wn em W. Definimos uma aplicação por coordenadas: se
v=a1v1+cdots+anvn,
então
T(v)=a1w1+cdots+anwn
O objetivo é (a) verificar que T é linear e (b) mostrar que não existe outra aplicação linear com T(vi)=wi.

Passo 2

Verificação de bem-definição: como vi é base de V, cada vin V tem uma única escrita v=a1v1+cdots+anvn. Logo a fórmula
T(v)=a1w1+cdots+anwn
é unívoca, ou seja, não depende de nenhuma escolha extra.

Passo 3

Provar linearidade:
  1. Soma: seja u=b1v1+cdots+bnvn. Então
u+v=(b1+a1)v1+cdots+(bn+an)vn
e, aplicando T,
T(u+v) =(b1+a1)w1+cdots+(bn+an)wn =l(b1w1+cdots+bnwnr)+l(a1w1+cdots+anwnr) =T(u)+T(v)
  1. Multiplicação por escalar: para lambdainR,
lambdav=(lambda a1)v1+cdots+(lambda an)vn
e
T(lambdav) =(lambda a1)w1+cdots+(lambda an)wn =lambdal(a1w1+cdots+anwnr) =lambda,T(v)
Logo, T satisfaz T(u+v)=T(u)+T(v) e T(lambdav)=lambda T(v), ou seja, é linear.

Passo 4

Provar unicidade: suponha S:Vto W linear com S(vi)=wi para todo i. Dado v=a1v1+cdots+anvn, a linearidade de S
S(v) =a1,S(v1)+cdots+an,S(vn) =a1w1+cdots+anwn =T(v)
Isso mostra Sequiv T em todo V. Portanto, não há outra aplicação linear que envie vi em wi.

Resposta

A aplicação T definida por
Tl(a1v1+cdots+anvnr)=a1w1+cdots+anwn
é linear e única satisfazendo T(vi)=wi para i=1,dots,n.

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