Encontre a matriz da transformação linear
T: R^3 R^3
dada por
T(x, y, z)=(x+y, x-y+2 z, 2 x+y-z),
utilizando a base
beta=(0,2,0),(0,-1,1),(2,0,-1)
no dominio e no contra-domínio da transformação.

Passo 1

O enunciado pede a matriz de TcolonR^3toR^3,
T(x,y,z)=(x+y,;x-y+2z,;2x+y-z),
em que usamos a base beta=v1,v2,v3 tanto no domínio quanto no contradomínio, sendo
v1=(0,2,0), v2=(0,-1,1), v3=(2,0,-1)
O que vamos precisar é:
1. Calcular T(vi) em coordenadas canônicas.
2. Expressar cada T(vi) como combinação linear de v1,v2,v3.
3. Montar a matriz cujas colunas são esses coeficientes.

Passo 2

Calcular as imagens dos vetores da base em coordenadas canônicas:
T(v1)=T(0,2,0)=(0+2,;0-2+0,;0+2-0)=(2,-2,2),
T(v2)=T(0,-1,1)=(0-1,;0-(-1)+2cdot1,;0+(-1)-1)=(-1,3,-2),
T(v3)=T(2,0,-1)=(2+0,;2-0+2(-1),;2cdot2+0-(-1))=(2,0,5)

Passo 3

Expressão de
Isso gera o sistema
Da primeira equação . Substituindo na segunda: .
Logo
]

Passo 4

Expressão de
O sistema é
Da primeira . Então .
Logo
]

Passo 5

Expressão de
O sistema é
Da primeira . Então .
Logo
]

Passo 6

A matriz de T na base beta é formada pelas colunas [T(v1)]beta, [T(v2)]beta, [T(v3)]beta:
[T]beta= tfrac12 & tfrac14 & 3 3 & -tfrac52 & 6 1 & -tfrac12 & 1

Resposta

[T]beta= 12 & 14 & 3 3 & -52 & 6 1 & -12 & 1

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