Considere a transformação linear T: R^3 R^3 dada por:
T(x, y, z)=(x-2 y+z, x, x+2 y+z)
Determine o isomorfismo inverso T^-1.

Passo 1

O enunciado pede o isomorfismo inverso de Tcolon R^3toR^3 definido por
T(x,y,z) = (,x - 2y + z,;x,;x + 2y + z,)
O conteúdo aqui é “inversão de transformação linear”: vamos montar a matriz de T, verificar que ela é invertível e depois resolver o sistema linear para obter T^-1.

Passo 2

Vamos escrever a matriz padrão de . Se vira , então

Passo 3

Para garantir que T é invertível, calculamos det(A):
det(A) =1cdot0&02&1 -(-2)cdot1&01&1 +1cdot1&01&2 =0 +2cdot1 +1cdot2 =4neq0
Como det(A)=4, existe A^-1 e, portanto, T^-1.

Passo 4

Para achar
Da segunda equação já vem (x=v]. Substituindo em

fazemos (segunda menos primeira):

Então, por exemplo na segunda,

Passo 5

Portanto os componentes de T^-1(u,v,w)=(x,y,z) são
x = v, y = w - u4, z = u + w2 - v

Resposta

T^-1(u,v,w) = l(v,;tfracw - u4,;tfracu + w2 - vr)

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